Аналитическая механика. Обобщенные координаты. Уравнения связей. Возможные перемещения
Лекция 13 ■ Аналитическая механика – устанавливает общие, единые методы изучения движения и равновесия любых самых сложных материальных систем средствами математического анализа. Для этого вводятся новые понятия и обобщаются старые. ■ Связи – рассматриваются теперь как некоторые условия, налагаемые на систему, которые должны удовлетворяться в процессе движения системы. Они содержат соотношения (уравнения или неравенства) между координатами, компонентами скоростей и ускорений и, возможно, времени. Классификация связей: По интегрируемости: Голономные (геометрические) – выражаются конечными уравнениями относительно координат или интегрируемыми дифференциальными уравнениями относительно координат: Неголономные (кинематические) - выражаются неинтегрируемыми дифференциальными уравнениями относительно координат, т.е. уравнениями, содержащими не только координаты точек системы, но и их производные по времени: Неинтегрируемость состоит в том, что их нельзя привести к виду уравнений голономной связи. По зависимости от времени: Склерономные (стационарные) – не зависящие от времени: Например, уравнение траектории, полученное для некоторой точки шатуна кривошипно-шатунного механизма: рассматривается как уравнение cклерономной голономной связи: Реономные (нестационарные) – зависящие от времени. Например, кинематическое возбуждение колебаний. По освобождаемости: Неосвобождающие (удерживающие или двухсторонние) – описываются уравнением, исключающим возможность покидания точкой траектории или поверхности, описываемой уравнением. Этому соответствует, например, жесткая связь в виде шарнирного стержня. ■ Обобщенные координаты – независимые параметры, однозначно определяющее положение механической системы при ее движении. Обобщенность состоит в том, что они могут иметь различную природу (линейные или угловые перемещения относительно некоторого начального положения или какие-либо другие величины). Общее обозначение – qi (i = 1,…,n). ■ Число степеней свободы – число независимых обобщенных координат, через которые можно выразить декартовые координаты всех точек системы. Например: Здесь положение любой точки стержня (например, А) однозначно определяется значением всего одной величины – угла α, который является обобщенной координатой (q = α ). Число степеней свободы равно n = 1. Уравнение связи для рассматриваемой точки A: Если на систему N точек в пространстве наложено m голономных связей, то декартовые координаты всегда могут быть выражены конечными соотношениями: Число обобщенных координат равно n = 3N – m.
Slaidy.com
