جلسه ششم و هفتم – درون یابی و برون یابی

فقط یک چندجمله ای از درجه n وجود دارد که در شرط 1 صدق می کند.
چندجمله ای که در شرط 1 صدق کند چند جمله ای درون یاب نامیده می شود.
چند جمله ایهای لاگرانژ
در این روش فرض می کنیم L0(x)، L1(x) و . . . Ln(x) هر یک، یک چند جمله ای درجه n باشد و داشته باشیم
که در آن j=0,1, …., n داشته باشیم:
از رابطه (3) داریم:
بنابراین خواهیم داشت:

رابطه (3) را چند جمله ای لاگرانژ گویند، که یک چندجمله ای از درجه n است.
مثال: چندجمله ای P(x)، مربوط به تابع جدولی زیر را به دست آورید و f(0.5) را حساب کنید.
با نامگذاری xها از صفر، X0، X1 و X2 را داریم، در نتیجه مقدار n=2 است. بنابراین L0(x)، L1(x) و L2(x) همگی از درجه 2 خواهند بود و به صورت زیر محاسبه می شوند:

در نهایت باجایگذاری در رابطه 2 خواهیم داشت:
چون x=0.5 در داخل جدول نیست و بین نقاط تابع جدولی قرار دارد، مقدار P(0.5) را به عنوان تقریبی از f(0.5) حساب می کنیم.

مثال: چند جمله ای درون یاب تابع جدولی زیر را حساب کرده، f(1/2) و f(3/2) حساب کنید.
در این مثال نیز با نامگذاری x ها از صفر، n=3 خواهد بود. بنابراین چندجمله ایهای لاگرانژ L0(x)، L1(x)، L2(x) و L3(x) همگی از درجه 3 خواهند بود.
در نتیجه چند جمله ای P(x) برابر خواهد بود با:

با توجه به تابع P(x)، خواهیم داشت:
نکته: اگر مختصات یک نقطه به تابع جدولی اضافه گردد، باید محاسبات را از ابتدا دوباره انجام داد و چندجمله ای جدید به دست آورد، در این حالت نمی توان از چند جمله ای قبلی استفاده کرد.
چند جمله ای درون یاب بر حسب تفاضلات تقسیم شده نیوتن
تعریف: فرض کنید نقاط X0، X1، X2، . . . و Xn نقاط دو به دو متمایز باشند و f0، f1، f2، . . . و fn مقادیر تابع f در این نقاط باشند. تفاضلات تقسیم شده نیوتن مرتبه اول بین Xi و Xi+1 را به صورت زیر تعریف می کنیم:
برای مثال تفاضلات تقسیم شده نیوتن مرتبه اول بین دو نقطه X0 و X1 و بین X1 و X2 را به صورت زیر محاسبه می کنیم:

تفاضلات تقسیم شده نیوتن مرتبه دوم بین X0، X1 و X2 را می توان به صورت زیر تعریف کرد:
مشابه فوق می توان تفاضلات تقسیم شده نیوتن مرتبه بالا را حساب کرد، اما با ترسیم جدول تفاضلات تقسیم شده نیوتن، براحتی می توان مراتب مختلف تفاضلات تقسیم شده نیوتن را حساب کرد.
مثال: جدول تفاضلات تقسیم شده نیوتن مربوط به تابع جدولی زیر را رسم کنید.

مثال: با اضافه کردن نقطه (2,7) به تابع جدولی مثال قبل، جدول تفاضلات آن را رسم کنید.
نکته: مشاهد می شود که با اضافه کردن یک نقطه به تابع جدولی، نیازی به محاسبه جدول تفاضلات از ابتدا نیست.

فرمول چند جمله ای درون یاب برحسب جدول تفاضلات تقسیم شده نیوتن
با توجه به تعریف تفاضلات تقسیم شده نیوتن، چند جمله ای درون یاب f در نقاط X0، X1، . . . و Xn عبارتست از:
که در آن f[X0, X1, X2, … , Xi] تفاضلات تقسیم شده نیوتن مرتبه iام بین نقاط X0، X1، . . . و Xi برای i=1, 2, 3, …, n می باشد و به صورت زیر برحسب تفاضلات مرتبه قبلی حساب می شود:
مثال: چند جمله ای درون یاب تابع جدولی زیر را به روش تفاضلات تقسیم شده نیوتن به دست آورید.