Целочисленные задачи

Методы решения
Нелинейные уравнения

1)Разложение на множители
Решить уравнение 2х³+ху-7=0 в целых числах.

Решение:
Приведем данное уравнение к виду
Х(2х²+у)=7.
Так как 7=1*7=7*1=-1*(-7)=-7*(-1), то рассмотрим четыре системы
1) х=1 2) х=7
2х²+у=7 2х²+у=1
3) х=-1 3) х=-7
2х²+у=-7 2х²+у=-1
Ответ: (1;5), (-1;-9), (7;-97), (-7;-99)

2) Применение формул сокращенного умножения
Найдите все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 55

Решение:
Запишем условие задачи в виде уравнения х ² - у ² = 55 или (х-у)(х+у)=55
Поскольку х-у<х+у и 55=1*55=5*11, то возможны 2 случая
х-у=1 х-у=5
х+у=55 х+у=11
Ответ: (28;27), (8;3)

3) Способ группировки
Решите уравнение ху+3х-у=6 в целых числах

Решение:
Запишем уравнение в виде
Х(у+3)-(у+3)=3 или (х-1)(х+3)=3
Рассмотрим 4 системы
х-1=1 х-1=3 х+3=3 х+3=1
х-1=-1 х-1=-3
х+3=-3 х+3=-1
Ответ: (4;-2), (-2;-4), (2;0), (0;-6)

4)Разложение квадратного трехчлена
Решите уравнение х ²-3ху+2у ²=11 в целых числах

Решение:
Решим уравнение х ²-3ху+2у ²=0 относительно неизвестной х:
х1=у и х2=2у
Тогда получаем (х-у)(х-2у)=11
Рассмотрим 4 системы
х-у=1 х-у=11
х-2у=11 х-2у=1
х-у=-1 х-у=-11
х-2у=-11 х-2у=-1
Ответ: (21;10), (-9;-10), (-21;-10), (9;10)

Метод решения относительно одной переменной

1) Выделение целой части
Найдите все пары целых чисел х и у, удовлетворяющих уравнению
3ху+14х+17у+71=0

Решение:
Выразим из данного уравнения у через х:
У=-(14х+71)/(3x+17)
ОДЗ: 3х+17=0
Выделим из дроби в правой части этого
равенства правильную алгебраическую
дробь (у которой степень числителя меньше
степени знаменателя)

У=-(4(3х+17)+2х+3)/(3х+17)
У=-4 –(2х+3)/(3х+17)
Умножим обе части последнего равенства на 3:
3у=-12- (6х+9)/(3х+17)=-12 – 2+ 25/(3х+17)
Поскольку числа 3у и 14-целые, то 3х+17 должно быть делителем числа 25:1,-1, 5,-5, 25,-25
Ответ: (-4;-3), (-6;-13), (-14;-5)

Замечание!!!!
В решении был использован прием домножения обеих частей равенства на коэффициент при х в знаменателе. Этот прием домножения также удобно использовать при решении уравнений методом разложения на множители.

2) Использование дискриминанта (неотрицательность)
Решите уравнение 3(х²+ху+у²)=х+8у в целых числах

Решение:
Рассмотрим уравнение как квадратное относительно х:
3х ²+(3у-1)х +3у ²-8у=0
Найдем дискриминант
D=-27у ²+90у+1. данное уравнение имеет корни, если D>=0, т.е. - 27у ²+90у+1>=0.
Так как у принадлежит целым числам, то получаем 0<=y<=3. перебирая эти значения, получим, что исходное уравнение в целых числах имеет решения (0;0) и (1;1)

3)Использование дискриминанта (полный квадрат)
Решите уравнение х ²-ху+у ²=х+у в целых числах

Решение:
Рассмотрим уравнение как квадратное относительно х: х ²-(у+1)х+у ²-у=0
D=-3у ²+6у-1=а ² должен быть квадратом некоторого числа а. получаем новое уравнение
3у ²+6у-1+а ²=0. Из последнего уравнения следует, что а ²<=4, т.е. а<=2

1)Если а ²=0, то уравнение 3(у-1) ²=4 не имеет целого решения у
2)Если а ²=1, то уравнение 3(у-1) ²=3 имеет целые решения у1=2 и у2=0.
при у =2 получаем квадратное уравнение х²-3х+2=0
х1=1, х2=2.
при у=0 получаем квадратное уравнение х²-х=0
х3=0,х4=1
3)Если а ²=4, то уравнение 3(у-1) ²=0 имеет одно целое решение у=1. при у=1 получаем х ²-2х=0
х1=0, х2=2

Ответ:
(1;2), (2;2), (0;0), (1;0), (0;1), (2;1)

Метод остатков
Решите в целых числах уравнение
3 ͣ +7=2 ͨ

Решение:
1)Если а<0, то уравнение не имеет решений в целых числах. Действительно 0<3 ͣ <1, тогда первая часть уравнения 3 ͣ =2 ͨ -7является целым числом при c>=0(что невозможно) или первая часть уравнения 7=2 ͨ -3 ͣ меньше 7 при c<0.
2) Пусть а=0, тогда из уравнения 2 ͨ =8 получаем с=3

3) Теперь считаем, что а>0. так как уравнение содержит степень с основанием 3, то рассмотрим остатки деления на 3. левая часть исходного уравнения при делении на 3 имеет остаток 1. Когда правая часть 2 ͨ имеет остаток 1? легко показать, что при четном с=2х выражение
2²ˣ=4ˣ=(3+1)ˣ=3ˣ+3ˣ ¹+…3+1=3t+1 имеет остаток 1. при нечетном с=2х+1 выражение 2ˣ ¹=2*4ˣ=2(3t+1)=6t+2 имеет остаток 2

Итак с=2х. Тогда 3 ͣ =2²ˣ-7=4ˣ-7.
Правая часть последнего уравнения
имеет остаток 1 при делении на 4 (число – 7 попадает в множество –класс остатков содержащее1). Когда левая часть 3 ͣ имеет остаток 1? Покажем, что при а=2r выражение
3² ͬ =9 ͬ = (8+1) ͬ = 8ˣ+8ˣ ¹+..+8+1=8s+1 имеет остаток 1. при нечетном а=2r+1 выражение 3² ͬ ¹ =3*9 ͬ =3(8s+1)=24s+3 имеет остаток 3.

Итак, а=2r. Тогда уравнение запишем в виде 2 ²ˣ-3² ͬ =7 или (2 ˣ-3 ͬ )(2ˣ+3 ͬ )=7.
Так как 2 ˣ-3 ͬ > 2 ˣ+3 ͬ и 2 ˣ+3 ͬ >0, то имеем единственный случай
2 ˣ+3 ͬ =7
2 ˣ-3 ͬ =1
Отсюда получаем, что х=2, r=1 и а=2, с=4
Ответ: а=2, с=4 или а=0,с=3

Метод «спуска»
Решите уравнение 2х²-5у²=7 в целых числах

Решение:
Так как 2х²-четное число, а 7-нечетное число, то 5у²- должно быть нечетным, т.е. у –нечетное число
Пусть у=2z+1, где z-целое, тогда данное уравнение можно записать в виде:
х²-10z²-10z=6.
Отсюда видно,что х должно быть четным.