Числовые неравенства и их свойства

Оглавление
Понятие числового
неравенства
Свойство 1
Свойство 2
Свойство 3
Свойство 4
Свойство 5
Свойство 6
Свойство 7
Применение свойств:
8 класс
9 класс
10 – 11 классы

Определение:
1.Действительное число а больше действительного числа b, если их разность
а-b – положительное число.
2. Действительное число а меньше действительного числа b, если их разность а-b – отрицательное число.
Пишут a>b или a

> «больше»
< «меньше»
>=
«больше или равно»
<=
«меньше или равно»
Знаки неравенств
Неравенства
Строгие
Нестрогие

а>0 означает, что а – положительное число;
а>=0 означает, что а –неотрицательное число (положительное или 0);
а<0 означает, что а – отрицательное число.
а<=0 означает, что а – неположительное число (отрицательное или 0).
Оглавление

Свойства числовых неравенств

Свойство1.
Если a>b и b>c, то a>c.
Доказательство.
а>b
а-b>0
b>c
b-с>0
(а-b)+(b-с)>0
а-с>0
а>с
Оглавление

Если к обеим частям неравенства прибавить одно и тоже число, то знак неравенства следует сохранить
Если a>b, то a+c>b+c.
Примеры:
Если a
Если a>b, то a-5>b-5
Свойство 2
Оглавление

Свойство 3
Если а>b и m>0, то am>bm
Если a>b и m<0, то am
m>0
m<0
Если обе части неравенства
умножить на одно и то же
положительное число, то знак
неравенства следует сохранить.
Если обе части неравенства
умножить на одно и то же
отрицательное число, то знак
неравенства следует изменить.
Примеры:
Если a>b, то 4a>4b
Если a
-9b
Если a>b, то -a<-b
Оглавление

Свойство 4
Если a>b и c>d, то a+c>b+d
Доказательство.
a>b
(свойство 2)
c>d
(Свойство 2)
a+c>b+c
c+b>d+b
a+c>b+d (Свойство 1)
Оглавление

Свойство 5
Если a,b,c,d – положительные числа и a>b, c>d,
ас >bd
Доказательство
a>b и c>0
(свойство 3)
ac>bc
c>d и b>0
(свойство 3)
cb>db
ac>bd
(Свойство 1)
Оглавление

Свойство 6
Если a и b - неотрицательные числа и a>b,
то a*n>b*n, где n - любое натуральное число.
Дополнение:
Если n – нечетное число, то для любых чисел
a и b из неравенства a>b следует неравенство
того же смысла a*n>b*n.
Оглавление

Свойство 7
Если а и b - положительные числа и а>b, то 1 1
а b
Оглавление

Применение свойств числовых неравенств

Дано:
8 < a < 10 1 < b < 2
Оцените значение выражения 2а-3b
Решение:
2а
8<а<10
<20
16<
1
<-3
-3b
-6<
10<2а-3b<17
8 класс

Дано: 5
Оцените значение выражения
4a
b
5
Решение:
3
4a
<48
20<
1
b
1
4
1
3
4a
b
5
16
Оглавление

Доказательство :
Докажите,что функция y=-5x+4 убывает
Если х > x
-5x < -5x
-5x +4 < -5x +4
f(x ) < f(x )
y=-5x+4 убывает
9 класс

Доказательство :
Если х > x
Докажите, что функция y=x+3x возрастает
х > x
3х > 3x
Х + 3X >X + 3X
f(x )>f(x )
y= x + 3x возрастает
Оглавление

y= 4 sinx - 5
Найдите область значений функции
Решение:
-1 < sinx < 1
-4 < 4sinx <4
-9 < 4sinx-5 < -1
E(y)=[-9;-1]
Оглавление
10-11 классы