Диофант и его уравнения

Цель:
научиться решать диофантовы уравнения и задачи, сводящиеся к ним
Гипотеза:
умение решать диофантовы уравнения полезно не только при подготовке к математическим олимпиадам, они также могут описывать и бытовые ситуации, встречающиеся на нашем жизненном пути.

Задачи:
познакомиться с теоретическим блоком, связанным с Диофантом и его уравнениями;
классифицировать диофантовы уравнения;
научиться решать уравнения в целых числах несколькими способами и классифицировать методы;
сделать выводы;
создать приложение, в которое будет входить подборка разных задач;

Методы:
Анализ
Классификация
Наблюдение
Обобщение
Диофантовы уравнения
Объект

Практическая значимость моей работы заключается в использовании ее на углубленных занятиях по математике, при подготовке к математическим олимпиадам и к ЕГЭ.

Мудрым искусством его скажет усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком,
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подругою он обручился.
С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец.
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил,
Отнят он был у отца ранней могилой своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,
Тут и увидел предел жизни печальной своей.
о Диофанте
Немного

Пусть Диофант прожил x лет. Составим и решим уравнение:

Умножим уравнение на 84, чтобы избавиться от дробей:
Таким образом, Диофант прожил 84 года.

Неопределенные уравнения
I – ой степени и их решения
ax + by = с
ax + by + cz = d

Метод перебора
Метод «спуска»
ax + by = с

Метод перебора
Рассмотрим уравнение:
4,5х + 6у = 57.
Нужно найти все натуральные значения переменных х и у.

Помножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробных чисел , получим:
9х + 12у = 114.

Ответ:

Метод «Спуска»
Даны два автомобиля Урал 5557, автомобили отправили в рейс
Мыс Каменный – Лабытнанги - Мыс Каменный.
Всего понадобилось 4 т дизельного топлива и 2 водителя, чтобы выполнить этот рейс. Нужно определить транспортные затраты, а именно стоимость 1 т дизельного топлива и оплату труда водителей, выполняющих этот рейс, если известно, что всего затрачено 76000 р.

Пусть х – стоимость 1 т дизельного топлива, а
у – оплата труда водителей.
Тогда 4х + 2у – затрачено на выполнение рейса.
А по условию задачи затрачено 76000 р.
Получим уравнение:
Решение

Выделив целую часть, получим:
(1).

Значение х подставим в выражение (1):

Т.к.
х, у
0
, то 19000
z 0,
следовательно,
придавая z
целые значения от 0 до
19000,
получим следующие значения x и y:

Если х = 18000, у = 10000, то z = 9000,
проверим:
,
.

ах + by + cz =d

Дана однокомнатная квартира.
Стоимость содержания жилья
на 1 м2 составляет 8 р.
Стоимость теплоэнергии
на 1 м2 равна 33 р.
Стоимость 1 м3 воды
на человека – 16 р. Какую площадь имеет квартира.
Какая площадь отапливается в
этой квартире.
Норматив потребления воды на человека в течение месяца.
Если известно, что
в квартплате за месяц всего
начислено 1416 р.
Задача:

.
Обозначим переменными:
x - количество кв. м в квартире,
y – количество кв. м в квартире, которым отведена теплоэнергия, а
z – количество воды (м3), потребляемое на человека.
Тогда 8x + 33y + 16z - всего начислено в квартплате за месяц.
А по условию задачи, всего начислено 1416 р.
Получим уравнение:
.
Решение:

Выразим x:

Пусть выражение
x тоже был целым.
Заменим это выражение на t :
будет целым, чтобы коэффициент

Теперь подставим значение y в уравнение
X = 177 – 4y – 2z – t:
.

Придавая z и t произвольные целые значения, получим решение исходного уравнения: