Движение под углом к горизонту

Условия задачи
Тело брошено со скоростью V под углом @ к горизонту. Определить:
Траекторию движения тела
Время полёта
Дальность полёта
Максимальную высоту подъёма H
Скорость тела на высоте h
Нормальное и тангенсальное ускорения в начальной точке траектории и в наивысшей точке подъёма
Радиусы кривизны в этих точках

Дано:
V, @
Решение:
Найти:
1)Уравнения движения
2) t
3) l
4) H max
5) V
6) a , a t
7) R

y
x
g
voy
vox
@
l
S
vo
vx2
vh2
vy2
B1
B2
Движение данного тела в системе координат.
График
А
.
0
h
h
Vh1
Vy1
Vx1

Решение
Движение тела вдоль оси x равномерное(ax=0);V0x = Vocos@, причем Vx=V0x=const. Уравнение движения вдоль оси x имеет вид:
x = x0xt = v0xtcos@
Движение по оси y равнопеременное с ускорением ау = -g = const и начальной скоростью Voy = V0sin@; Vy = Voy – gt.
Уравнение движения вдоль оси у имеет вид:
y = Voyt – gt^2/2 = V0tsin@ - gt^2/2

Найти траекторию движения – это значит найти аналитическое уравнение кривой, по которой движется тело в пространстве. Т. к. t = x/V0cos@ , то
y = xtg@ - gx^2/2V0^2cos^2@ .
2. Найдём t ,приравняв y = V0tsin@ - gt^2/2 к 0:
t(V0sin@ - gt/2) = 0
t1=0 t2 = (2V0/g)sin@
Действительно, тело на земле оказывается дважды - в начале и в конце полёта.

3) Т. к. вдоль оси x движение равномерное и известно время движения, то
xmax = l = V0xt = (V0cos@2V0sin@)/g = =V0^2sin2@/g
4) Hmax можно найти через время подъёма tпод. Т. к. в точке Нmax Vy=0, то
0 = V0y – gtпод
tпод = (V0/g)sin@
Таким образом,
Ymax = Hmax = V0ytпод – V0yt под ^2/2 = V0y^2/2g
Hmax = (V0^2sin^2@)/2g.

5) Для определения скорости на высоте h необходимо знать время, когда тело находиться на этой высоте, th
Vx = V0x, Vy = V0y – gth
y = h = V0yth – gth^2/2
(th)1,2 = V0y+/- V0y^2 – 2gh
g
Скорость в первой точке при th1
Vx1 = V0cos@
Vy1 = (V0^2sin^2@ - 2gh)

Модуль скорости равен Vh 1 = V0^2-2gh,
тангенс угла наклона скорости к оси х:
tgB1=Vy1/Vx1 = V0^2sin^2@ – 2gh
V0cos@
Скорость во второй точке при th2
Vx2 = V0cos@
Vy2 = - V0^2sin^2@ - 2gh
Модуль скорости равен Vh 2 = V0^2-2gh,
тангенс угла наклона скорости к оси х:
tgB1=Vy1/Vx1 = - V0^2sin^2@ – 2gh
V0cos@

6)В точке О
a0 = -gcos@ а0t = -gsin@
В точке А
аА = -g atA = 0
7)Нормальное ускорение определяется по формуле
а = V^2/R R = V^2/a, где R – радиус кривизны в данной точке, т. е. радиус окружности, часть дуги которой совпадает с траекторией в данной точке.
В точке О
V = V0, a = gcos@
R0 = V0^2/gcos@
B точке А
Vy = 0, a = g, VA = V0x = V0cos@
RA = (V0^2cos@)/g

Приложение
Ознакомившись с основными действиями пи решении задач по теме «Движение под углом к горизонту», Вы можете проверить приобретенные знания. С этой целью Вам предлагается следующая задача:

Условия задачи
Тело брошено горизонтально со скоростью 20м/с.Определить смещение тела от точки бросания,S, при котором скорость будет направлена под углом 45’ к горизонту.

Если у Вас возникли трудности при решении задачи, Вы можете воспользоваться следующими подсказками:
1)Кратко изложенные этапы решения;
2)Необходимые формулы;
3)Ответ.

Этапы решения
1.Выбрать оси координат.
2.Записать уравнения движения тела.
3.Определить момент времени t, когда скорость будет направлена под углом 45’ к горизонту.
4.Подставить t в уравнение движения и найти координаты тела.
5.Найти искомое перемещение.

Формулы
1.x = V0t
2.y = gt^2/2
3.Vy/Vx = tg@
4.gt = V0
5.S = x^2 + y^2

Ответ
S = 45 м.