Элементы логики

В основе современной логики лежат учения, созданные ещё древнегреческими мыслителями, хотя первые учения о формах и способах мышления возникли в Древнем Китае и Индии. Основоположником формальной логики является Аристотель, который впервые отделил логические формы мышления от содержания.

Алгебра логики
(булева алгебра)
раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними

Логика – это наука о формах и способах мышления. Это учение о способах рассуждений и доказательств

Джордж Буль

умозаключение
суждение
Формы мышления
понятие
Формы мышления
понятие
суждение
Формы мышления
понятие
умозаключение
суждение
Формы мышления
понятие

Понятие
это форма мышления, которая выделяет существенные признаки объекта, позволяющие отличать их от других
Прямоугольник, проливной дождь, компьютер
Понятие имеет две стороны:
содержание и объем

Содержание – это все существенные признаки объекта или класса объектов, отраженные в понятии

Квадрат

Объем – множество объектов, каждому из которых присущи признаки, составляющие содержание понятия

Множество отличников в классе
Множество букв русского алфавита
Множество натуральных чисел
Множество знаков

Высказывание
это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о реальных предметах, их свойствах и отношениях между ними
Кончилось лето и наступили прохладные дни.
Марс находится в пределах Солнечной системы.
В школе уроки начинаются в 8 утра.
Крокодилы летают.

Логическое высказывание
это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно

После дождя трава мокрая
Круг имеет 4 угла
Высказывания
простыми составными
После дождя трава мокрая
Круг имеет 4 угла
Неверно, что январь – летний месяц
Если у тебя заболело горло, то обязательно надо показаться врачу

Истинность простых высказываний определяется на основании здравого смысла
Истинность составных высказываний определяется с помощью алгебры логики

Высказывания бывают общимиобщими, частными или единичными
Общее высказывание начинается со слов: все, всякий, каждый, ни один
Частное высказывание начинается со слов: некоторые, большинство, и т.п.
Во всех других случаях высказывания являются единичными

Общее высказывание
соответствует множеству однородных объектов, которое иначе называется классом объектов.
Каждого человека окружают объекты
Исполнитель может выполнить команду ветвления
Источник информации бывает ложным

Частное высказывание
Некоторые школьники - спортсмены
Не каждое животное является домашним
Не все люди разговаривают на русском языке

Единичное высказывание
соответствует конкретному объекту, тому самому, о котором идет речь
Мой письменный стол сделан из дерева
Наша школа имеет два этажа

Суждение
это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается об объектах, признаках или отношениях объектов

Москва больше Санкт-Петербурга
Все мальчики любят играть в футбол
Некоторые ученики нашего класса поют в школьном хоре
Примеры суждений

Умозаключение
это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений может быть получено новое

Исходное суждение - посылка
Полученное суждение - заключение
Если все воробьи – птицы, а все птицы – животные, то все воробьи являются животными.

Алгебра высказываний
Служит для определения истинности или ложности составных высказываний, не вникая в их содержание
В алгебре высказываний простым высказываниям ставятся в соответствие логические переменные, обозначаемые латинскими буквами:
A – «Собаки летают»
B – «Земля имеет форму шара»
Если высказывание истинно, то ему соответствует значение логической переменной 1, если ложно – 0;
A = 0, B = 1

Записать в виде логического выражения высказывание:
Летом Петя поедет в деревню и, если будет хорошая погода, то он пойдёт на рыбалку.
А = Петя поедет в деревню
В = Будет хорошая погода
С = Он пойдёт на рыбалку

Операции над логическими
высказываниями

Инверсия
Логическое отрицание
Присоединение частицы «не» к высказыванию
Правило истинности:
Логическое отрицание (инверсия) истинно, если высказывание ложно и ложно, если высказывание истинно.
Обозначение инверсии: ¬ ¯
A – простое высказывание
Инверсия: F = ¬ A (F = А)

А = «Земля — планета Солнечной системы»
А = «Земля — не является планетой Солнечной системы»

Таблица истинности

Конъюнкция
Логическое умножение
Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза «и»
Правило истинности:
Составное высказывание, образованное в результате логического умножения (конъюнкции), истинно тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него простые высказывания

«10 делится на 2 и 5 больше 3» истинно
«10 делится на 2 и 5 не больше 3» ложь
«10 не делится на 2 и 5 больше 3» ложь
«10 не делится на 2 и 5 не больше3» ложь

Обозначение операции логического умножения: &, *,
A и B – простые высказывания
Конъюнкция: F = A B

Таблица истинности

Дизъюнкция
Логическое сложение
Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза «или»
Правило истинности:
Составное высказывание, образованное в результате логического сложения (дизъюнкции), истинно тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих в него простых высказываний

«10 не делится на 2 или 5 не больше 3»
ложно
«10 делится на 2 или 5 больше 3»
истинно
«10 делится на 2 или 5 не больше 3»
истинно
«10 не делится на 2 или 5 больше 3»
истинно

Обозначение операции логического сложения: ∨, +
A и B – простые высказывания Дизъюнкция: F = A ∨ B

Таблица истинности

Импликация
Логическое следование
Соединение двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если…, то…»
Правило истинности:
Составное высказывание, образованное с помощью операции логического следования (импликации), ложно тогда, когда из истинного высказывания (посылки) следует ложное высказывание (следствие)

«Если 10 не делится на 2, то 5 не больше 3» истинно
«Если 10 делится на 2, то 5 больше 3»
истинно
«Если 10 делится на 2, то 5 не больше 3»
истинно
«Если 10 не делится на, то 5 больше 3»
истинно

Обозначение операции логического следования: ⇒
A и B – простые высказывания
Импликация: F = A B

Таблица истинности

Эквивалентность
Логическое равенство
Соединение двух высказываний в одно помощью оборота речи «тогда и только тогда, когда»
Правило истинности:
Составное высказывание, образованное с помощью операции логического равенства (эквивалентности), истинно только тогда, когда оба высказывания одновременно либо истинны, либо ложны

«Если 10 не делится на 2, то 5 не больше 3»
истинно
«Если 10 делится на 2, то 5 больше 3»
истинно
«Если 10 делится на 2, то 5 не больше 3»
ложно
«Если 10 не делится на, то 5 больше 3»
ложно

Обозначение операции логического равносильности: ~
A и B – простые высказывания
Эквивалентность: F = A B

1

Приоритет действий
Инверсия
Конъюнкция
Дизъюнкция
Составление таблиц истинности
Число строк: 2n (n – число логических переменных)
Число столбцов: число логических переменных + число логических операций

Законы логики

Закон тождества
всякое высказывание тождественно самому себе

Закон непротиворечия
высказывание не может быть одновременно истинным и ложным

Закон исключения третьего
высказывание может быть либо истинным, либо ложным третьего не дано

Закон двойного отрицания
если дважды отрицать одно и то же высказывание, то в результате получится исходное высказывание

Закон поглощения 0

Закон поглощения 1

Закон поглощения

Закон идемпотентности

Законы Моргана

Закон ассоциативности

Закон дистрибутивности

Закон коммутативности