Формулы сокращённого умножения

КВАДРАТ
СУММЫ И КВАДРАТ РАЗНОСТИ

КВАДРАТ СУММЫ
При умножении многочлена на многочлен каждый член одного многочлена умножают на каждый член другого. Однако в некоторых случаях умножение многочленов можно выполнить короче, воспользовавшись формулами сокращенного умножения.
Значит,
(1)
Тождество (1) называют формулой квадрата суммы.
(a  b)2  a2  2ab  b2.
Возведем в квадрат сумму a + b. Выполним умножение :
(a  b)2  (a  b)(a  b)  a2  ab  ab  b2  a2  2ab  b2.

Формулировка формулы
квадрата суммы:
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Пример №1 Представьте в виде многочлена:
 a) (x + 2y)2 = x2 + 2 ·x·2y + (2y)2 = x2 + 4xy + 4y2
 б) (2k + 3n)2 = (2k)2 + 2·2k·3n + (3n)2 = 4k2 + 12kn
+ 9n2
 в) (2а + 1)² = (2а)2 + 2·2а ·1 + 1 2 = 4а² + 4а + 1

КВАДРАТ
РАЗНОСТИ
(a  b)2  (a  b)(a  b)  a2  ab  ab  b2  a2  2ab  b2.
Возведем в квадрат разность a - b. Выполним умножение:
Значит,
(2)
Тождество (2) называют формулой квадрата разности.
(a  b)2  a2  2ab  b2.

Формулировка формулы
квадрата разности:
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Пример №2 Представьте в виде многочлена:
 а) (2a – c)2 = (2a)2-2·2a·c + c2 = 4a2 – 4ac + c2
 б) (3a – 5b)2 = (3a)2-2·3a·5b + (5b)2 = 9a2 – 30ab + 25b
 в) (х - 10)² = х² - 2 ·х· 10 + 10 ² = х² – 20х + 100
* Замечание
В дальнейшем решение подобных заданий будем записывать так ( более кратко), например:
 а) (2a – c)2 = 4a2 – 4ac + c2

Запомни!
 (а+b)²= а²+2аb+b²
 (а-b)² = а²-2аb+b²

Разложение на множители
с помощью формул квадрата суммы
и квадрата разности
a2  2ab  b2 и а2  2ab  b2
a2  2ab  b2  (a  b)2 ;
Формулы квадрата суммы и квадрата разности находят применение не только для возведения в квадрат суммы и разности, но и для разложения на множители выражений вида:
Действительно, поменяв местами в этих формулах левую и правую части, получим:
a2  2ab  b2  (a  b)2 ;

Пример №3 Представьте многочлен в
виде квадрата двучлена:

Решение задач на применение формул квадрата суммы и квадрата разности

№1 Выпишите соответствия по формулам из двух таблиц и узнаете , как известные планеты назывались в древности:

Решение
1) Пирой - Марс ;
2) Стилбон - Меркурий;
3) Фаэтон - Юпитер;
4) Фенон - Сатурн;
5) Эосфорос - Венера;
6) Геспер - нет пары.

№1 Найдите ошибку:
1)(3а – 2в)² = 9а² + 12 ва + 4в²;
2) (2у + 1)² = 2у² + 4у + 1;
3) (2х - 1)² = 4х² + 4х + 1;
4) (2х + 3)² = 4х² + 6х + 9.

Решение
1)(3а – 2в)² = 9а² + 12 ва + 4в²;
(3а – 2в)² = 9а² - 12 ва + 4в². 2) (2у + 1)² = 2у² + 4у + 1; (2у + 1)² = 4у² + 4у + 1.
3) (2х - 1)² = 4х² + 4х + 1; (2х - 1)² = 4х² - 4х + 1.
4) (2х + 3)² = 4х² + 6х + 9; (2х + 3)² = 4х² + 12х + 9.

Задачи для
самостоятельной работы

Выполните тестовое задание

Выберите правильный вариант ответа в
№ 1 - 3

№1 ВЫБЕРИТЕ СООТВЕТСТВИЯ ПО ФОРМУЛАМ ( НАПРИМЕР, 1 – ВЕНЕРА):
1.(х+ а)²=
2.(а- 2х)² =
3.(х + 2а)² =
4.(2х – 3а)² =
5.( а² -х)² =

№2 Найдите ошибку в каждом из равенств и запишите правильное решение:
1) (в - у)² = в – 2ву + у²;
2) (х - 10)² = х² – 20х + 10;
3) (2а + 1)² = 4а² + 2а + 1;
4) (2х – 5)² = 4х² – 20 х + 5;
5) х² - 2ху + у² = (х + у)²; 6) 4у² + 4у + 1 = (4у + 1)².

№3 ВСТАВЬТЕ ПРОПУЩЕННЫЕ ЗНАКИ В ВЫРАЖЕНИЯХ И ЗАПИШИТЕ ВЕРНОЕ РАВЕНСТВО:
а) (х...у)2=х2 -2х+...
б) (...-...)2=9х2... ...+25у2
в) (... ... ...)2=... -28ху...49х2
г) (х-...)2=... ...20х... ...