Функція Властивості

ФУНКЦІЯ – ЦЕ ОСНОВНЕ ПОНЯТТЯ МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ.
ТЕРМІН “ФУНКЦІЯ” ВПЕРШЕ ЗАПРОПОНУВАВ ГОТФРІД ВІЛЬГЕЛЬМ ЛЕЙБНІЦ У ХVІІ СТОРІЧЧІ.

ВЕЛИКИЙ ВНЕСОК У РОЗВИТОК І РОЗШИРЕННЯ ПОНЯТТЯ “ФУНКЦІЯ” ЗРОБИЛИ ВИДАТНІ ВЧЕНІ
Й.БЕРНУЛЛІ
Л.ЕЙЛЕР
М.І.ЛОБАЧЕВСЬКИЙ

ЗАЛЕЖНІСТЬ ЗМІННОЇ У ВІД ЗМІННОЇ Х НАЗИВАЮТЬ ФУНКЦІЄЮ, ЯКЩО КОЖНОМУ ЗНАЧЕННЮ Х ВІДПОВІДАЄ ЄДИНЕ ЗНАЧЕННЯ У.
Х - НЕЗАЛЕЖНА ЗМІННА (АРГУМЕНТ),
У – ЗАЛЕЖНА ЗМІННА (ФУНКЦІЯ).

Способи
задання функції

1)“ЗАДАНО ТАКУ ЗАЛЕЖНІСТЬ ЗМІННОЇ У ВІД ЗМІННОЇ Х, ПРИ ЯКІЙ КОЖНОМУ ЗНАЧЕННЮ У ПОСТАВЛЕНО У ВІДПОВІДНІСТЬ ПОДВОЄНЕ ЗНАЧЕННЯ Х.”
ЦЕ ОПИСОВИЙ СПОСІБ ЗАДАННЯ ФУНКЦІЇ.
2) У = 2 ∙ Х
ЦЕ СПОСІБ ЗАДАННЯ ФУНКЦІЇ ФОРМУЛОЮ.
3)
ЦЕ ТАБЛИЧНИЙ СПОСІБ ЗАДАННЯ ФУНКЦІЇ.

4) ЦЕ ГРАФІЧНИЙ СПОСІБ ЗАДАННЯ ФУНКЦІЇ.

Область визначення функції

ОБЛАСТЬ ВИЗНАЧЕННЯ ФУНКЦІЇ – ЦЕ МНОЖИНА ЗНАЧЕНЬ, ЯКИХ МОЖЕ НАБУВАТИ АРГУМЕНТ Х
ПОЗНАЧАЄТЬСЯ D(f)

ЗВЕРНІТЬ УВАГУ НА ОСОБЛИВІ ВИПАДКИ!
1) ІРРАЦІОНАЛЬНА ФУНКЦІЯ
О.В. : f(x) ≥ 0
2) ДРОБОВО-РАЦІОНАЛЬНА ФУНКЦІЯ
О.В. : g(x) ≠ 0
3) ДРОБОВО-ІРРАЦІОНАЛЬНА
ФУНКЦІЯ
О.В. : g(x) > 0

Область значень функції

ОБЛАСТЬ ЗНАЧЕНЬ ФУНКЦІЇ – ЦЕ МНОЖИНА ЗНАЧЕНЬ ЗАЛЕЖНОЇ ЗМІННОЇ У, ЯКИХ ВОНА НАБУВАЄ ПРИ ВСІХ Х З ОБЛАСТІ ВИЗНАЧЕННЯ
ПОЗНАЧАЄТЬСЯ Е(f)

ЗВЕРНІТЬ УВАГУ НА ОСОБЛИВІ ВИПАДКИ!
1) ІРРАЦІОНАЛЬНА ФУНКЦІЯ
О.З. : у ≥ 0
2) ДРОБОВО-РАЦІОНАЛЬНА ФУНКЦІЯ
О.З. : у ≠ 0
3) КВАДРАИЧНА ФУНКЦІЯ
О.З. : у ≥ 0

ЗВЕРНІТЬ УВАГУ НА ОСОБЛИВІ ВИПАДКИ!
4) МОДУЛЬ ФУНКЦІЇ
О.З. : у ≥ 0

Графік функції

ГРАФІК ФУНКЦІЇ – ЦЕ МНОЖИНА УСІХ ТОЧОК З КООРДИНАТАМИ ( х; у ) КООРДИНАТНОЇ ПЛОЩИНИ,
ЯКІ ЗАДОВОЛЬНЯЮТЬ РІВНЯННЯ ФУНКЦІЇ у = f(x)

Нулі
функції

Нулі функції – це точки х, у яких значення функції дорівнює 0,
тобто f(х) = 0.

На графіку – це точки перетину графіка з віссю абсцис.
a
b
c

Парність
та непарність
функції

- 2
2
4

Протилежним аргументам
х = 2 та х = - 2
відповідає однакове значення функції
у = 4 .
Така функція парна.

2
4
-2
- 4

Протилежним аргументам
х = 2 та х = - 2
відповідають протилежні значення функції
у = 4 та у = - 4.
Така функція непарна.

ЯКЩО ДЛЯ АРГУМЕНТІВ
х = а ТА х = - а
ЗНАЧЕННЯ ФУНКЦІЇ
f(a) = f( - a),
ТО
ТАКА ФУНКЦІЯ ПАРНА.
Теорема 1.

ЯКЩО ДЛЯ АРГУМЕНТІВ
х = а ТА х = - а
ЗНАЧЕННЯ ФУНКЦІЇ
f(a) = - f( - a),
ТО
ТАКА ФУНКЦІЯ НЕПАРНА.
Теорема 2.

Зростання
та
спадання
функції

2
2,8
12
7

ЗНАЧЕННЮ АРГУМЕНТА х = 2
ВІДПОВІДАЄ ЗНАЧЕННЯ
ФУНКЦІЇ У = 2,8.
Тобто, більшому значенню аргумента відповідає більше значення функції.
ЗНАЧЕННЮ АРГУМЕНТА х = 12
ВІДПОВІДАЄ ЗНАЧЕННЯ
ФУНКЦІЇ У = 7.
Така функція зростаюча.

1
4,7
6
0,8

ЗНАЧЕННЮ АРГУМЕНТА х = 1
ВІДПОВІДАЄ ЗНАЧЕННЯ
ФУНКЦІЇ У = 4,7.
Тобто, більшому значенню аргумента відповідає менше значення функції.
ЗНАЧЕННЮ АРГУМЕНТА х = 6
ВІДПОВІДАЄ ЗНАЧЕННЯ
ФУНКЦІЇ У = 0,8.
Така функція спадна.

ЯКЩО ДЛЯ АРГУМЕНТІВ
х = а ТА х = b
ТАКИХ, ЩО a < b ,
ЗНАЧЕННЯ ФУНКЦІЇ
f(a) < f(b),
ТО ТАКА ФУНКЦІЯ ЗРОСТАЄ.
Теорема 3.

ЯКЩО ДЛЯ АРГУМЕНТІВ
х = а ТА х = b
ТАКИХ, ЩО a < b ,
ЗНАЧЕННЯ ФУНКЦІЇ
f(a) > f(b),
ТО ТАКА ФУНКЦІЯ СПАДАЄ.
Теорема 4.

а
b
Функція зростає на проміжку (a ; b)

а
b
Функція cпадає на проміжку
(-∞; а) ∪(b; +∞)

Знакосталість
функції

Тут функція додатна
Тобто f(x) > 0, якщо х∈ ( -∞ ; a) ∪ (b ; c )
a
b
c

Тут функція від’ємна
a
b
c
Тобто f(x) < 0,
якщо х∈ (a; b) ∪ (c; +∞ )