Геометрия, 10 класс

Вспомним, что при параллельном проектировании в пространстве используют такие понятия как: плоскость проекций (любая плоскость α), направление параллельного проектирования (любая прямая mα).
m
α

Рассматривая любую геометрическую фигуру как множество точек, можно построить в заданной плоскости проекцию данной фигуры. Для этого выбирают любую точку фигуры A (прообраз) и строят ее параллельную проекцию на плоскость A’ (образ).
А
А’
m
α

Таким образом можно получить изображение (или «проекцию») любой плоской или пространственной фигуры. (см.рис.)
m
α

Пример 1. Постройте сечение треугольной призмы ABCA’B’C’, проходящее через точки M, N и K, лежащие в боковых гранях
A
B
C
C’
B’
M
N
K
M’
K’
N’
Решение.
Построим проекции данных трех точек M, N и K на плоскость основания в направлении, параллельном боковому ребру.
2) Соединим две любые данные точки (например, M и K).
3) Построим образ полученного в п.2) отрезка MK.
A’

A
B
C
A’
B’
M
N
K
M’
K’
N’
4) Соединим отрезком точки N’ и C, обозначив буквой F’ точку пересечения с отрезком M’K’.
5) Так как F’∈M’K’, то прообраз этой точки F∈MK. Построим ее.
6) Прямые NN’ и CC’ лежат в одной плоскости (подумайте почему?). Построим в этой плоскости точку R=CC’∩NF.
7) В боковых гранях ACC’ и BCC’ у нас появились по две точки, принадлежащие сечению, поэтому закончить построение сечения RST нетрудно.
F’
F
R
S
T
C’

Основной целью применения метода параллельных проекций является получение дополнительной точки сечения (обычно на одном из боковых ребер). Для этого можно воспользоваться следующей схемой (пояснения – из примера 1):
1) нужно выбрать любую пару из данных точек сечения; (M и K)
A
C
A’
C’
B’
M
N
K
M’
K’
N’
F’
R
S
T
2) построить их проекции на основание призмы; (M’ и K’)
3) направление параллельного проектирование выбирается параллельно боковым ребрам; (AA’)
4) сначала получить образ вспомогательной точки в плоскости проекций (для этого привлекают образы данных точек сечения и одну из вершин основания призмы); (точка F’, вершина – С)
5) найти прообраз вспомогательной точки; (точка F)
6) получить дополнительную точку сечения; (точка R).
F
Запишите схему в тетрадь!

Примечание. Еще раз обратите внимание на термин «любые» в п.2) примера 1. Попробуйте самостоятельно, по схеме, в тетради построить сечение из примера 1, соединяя две другие пары точек: M и N или N и K. Убедитесь в однозначности получающегося результата (сечение получается таким же).
A’
A
B
C
C’
B’
M
N
K
M’
K’
N’
F’
F
R
S
T
A
B
C
A’
C’
B’
M
N
K
M’
K’
N’
F’
F
R
S
T
Дополнительная точка T
Дополнительная точка S

Пример 2. Построить сечение четырехугольной призмы ABCDA’B’C’D’, проходящее через точки M∈AA’, N ∈(BCC’) и K∈(CDD’).
A
A’
B
B’
C
C’
D
D’
M
N
K
P
Q
R
Наблюдая за ходом построения сечения, составьте алгоритм по предложенной выше схеме.
N’
K’
F
F’
Четырехугольник MPQR – искомое сечение.

M
K
M’
K’
Пример 3. Построить сечение треугольной призмы ABCA’B’C’, заданное тремя точками М∈ABB’, N∈ACC’ и K∈BCC’.
Решение. Как мы видим, никакие из трех точек сечения не лежат в одной грани призмы. Значит, метод «следа» нам не подходит. Проследим поэтапное применение метода параллельных проекций для построения сечения в данном случае.
1) Построим образы M’, N’ и K’ данных точек при параллельном проектировании в направлении, параллельном боковому ребру призмы на ее нижнее основание.
A
B
C
A’
B’
C’
N
N’

M
N
K’
P’
L
2) Изобразим отрезок N’K’ как образ отрезка NK.
3) Найдем точку P’ пересечения отрезков M’C и N’K’.
4) Так как P’∈N’K’, то прообраз этой точки P∈NK. Построим ее.
5) Теперь изобразим прообраз отрезка M’C − отрезок ML, где L=MP∩CC’.
6) Точка L принадлежит плоскости сечения (MNK), значит, дальше можно воспользоваться методом «следа».
A
A’
B’
C
B
P
M’
C’
K
N’

M
L
E
D
K’
A
B
C
P
P’
N’
F
G
A’
B’
В итоге получили искомое сечение – пятиугольник FELDG!
Итак, наша цель в построении сечения была достигнута благодаря появлению дополнительной точки L.
K
M’
C’
N
При применении метода «следа» получим точку U. После чего закончить построение сечения нетрудно.
U

M
N
K
Примечание. В качестве плоскости проекции можно выбирать любое основание призмы.
Применяя вышеописанный алгоритм неоднократно можно обойтись без метода «следа».
Пример 4.

Плоскость сечения может задаваться:
1) тремя точками, не лежащими на одной прямой;
2) прямой и точкой, не лежащей на ней;
3) двумя пересекающимися прямыми;
4) двумя параллельными прямыми.
Все эти случаи можно свести к первому, выбирая на прямых удобные для нас точки.
A
A’
B
B’
C
C’
D
K
D’
Пример 5. Постройте сечение 4-угольной призмы, в основании которой произвольный 4-угольник, проходящее через диагональ и точку в противоположных боковых гранях.