Исследование функций на монотонность.

План показа:
Введение.
1. Определения возрастающей и убывающей функций. Графики функций.
2. Алгоритм исследования функции на монотонность.
3. Примеры исследования функций на монотонность.
Выводы.

Введение.
Только с алгеброй начинается строгое математическое учение.
Н.И. Лобачевский
Мы изучаем алгебру по комплектам учебников (под рук. Мордковича А.Г.), где учебный материал излагается по схеме:
функция - уравнения – преобразования.
В 7-м и 8-м классах мы учились читать графики, описывая некоторые свойства функций.
В 9-м классе узнали много новых определений и научились применять их для исследования функций. Таким образом, появилась возможность, ответить на многие вопросы без построения графиков функций и, наоборот, по графикам – определить свойства функций.
Замечательным свойством функции является монотонность. Наш показ посвящен этому свойству.

Определения возрастающей и убывающей функций.
Функцию y = f(x) называют возрастающей на множестве X⊂D(f), если для любых двух точек x1 и x2 множества X, таких, что x1 < x2 выполняется неравенство f (x1 ) < f (x2 ).
Функцию y = f(x) называют убывающей на множестве X⊂D(f), если для любых двух точек x1 и x2 множества X, таких, что x1 < x2 выполняется неравенство f (x1 ) > f (x2 ).
Термины «возрастающая функция» и «убывающая функция» объединяют общим названием монотонная функция.

3. Алгоритм исследования функции на монотонность.
Найти область определения функции y = f(x): множество X⊂D(f).
Выбрать произвольные значения аргумента x1 и x2 множества X такие, что x1 < x2 .
Найти значения функции f (x1 ) и f (x2 ).
Если из x1 < x2 следует f (x1 ) < f (x2 ), то заданная функция возрастает на D(f); если из x1 < x2 следует f (x1 ) > f (x2 ), то заданная функция убывает на D(f).

4. Примеры исследования функций на монотонность.
Исследовать на монотонность функцию:
1. y = 2 - 5x;
2. y = x3 +4;
3. y = x3 +2x2;
4. y = - 3x3 - x;
5. y = x0,5 +x5 ;
6. y = - x3 - x0,5 .

1. y = 2 – 5x.
Решение.
Область определения функции y = 2 – 5x: D(y)= (- ∞ ; + ∞).
Выберем произвольные значения аргумента x1 и x2 из D(y) такие, что x1 < x2.
Найдем значения функции f (x1 )= 2 – 5 x1 и f (x2 )= 2 – 5 x2 .
По свойствам числовых неравенств имеем: – x1 > – x2 ; 2 – 5 x1 > 2 – 5 x2 3 .
Итак, из x1 < x2 следует f (x1 ) > f (x2 ) , то заданная функция убывает на D(y).

2. y = x 3 + 4.
Решение.
Область определения функции y = x3 + 4 : D(y)= (- ∞ ; + ∞).
Выберем произвольные значения аргумента x1 и x2 из D(y) такие, что x1 < x2 .
Найдем значения функции f (x1 ) = x13 + 4 и f (x2 ) = x23 + 4.
По свойствам числовых неравенств имеем: x13 < x2 3 ; x13 + 4 < x2 3 + 4.
Итак, из x1 < x2 следует f (x1 ) < f (x2 ), то заданная функция возрастает на D(y).

3. y = x3 +2x2 .
Решение.
Область определения функции y = x3 + 2x2: D(y)= (- ∞ ; + ∞).
Выберем произвольные значения аргумента x1 и x2 из D(y) такие, что x1 < x2 .
Найдем значения функции f (x1 ) = x13 + 2 x12 и f (x2 ) = x23 + 2 x22.
По свойствам числовых неравенств имеем: x13 < x23 ; x13 + 2 x1 2 < x23 + 2.
Итак, из x1 < x2 следует f (x1 ) < f (x2 ), то заданная функция возрастает на D(y).

4. y = – 3x3 – x.
Решение.
Область определения функции y = – 3x3 – x : D(y)= (- ∞ ; + ∞ ).
Выберем произвольные значения аргумента x1 и x2 из D(y) такие, что x1 < x2.
Вычислим значения функции f (x1 )= – 3x1 3 – x1 и f (x2 )= – 3x2 3 – x 2 .
По свойствам числовых неравенств имеем: – x1 3 > – x2 3 ; – x1 (3x1 2 + 1) > – x2 (3x2 2 +1); – 3x1 3 – x1 > – 3x2 3 – x 2 .
Итак, из x1 < x2 следует f (x1 ) > f (x2 ) , то заданная функция убывает на D(y).

5. y = x0,5 +x5.
Решение.
Область определения функции y = x0,5 +x5 : D(y)= [ 0 ; + ∞).
Выберем произвольные значения аргумента x1 и x2 из D(y) такие, что x1 < x2 .
Найдем значения функции f (x1 ) = x1 0,5 +x1 5 и f (x2 ) = x 2 0,5 +x2 5
По свойствам числовых неравенств имеем: x10,5 < x2 0,5 ; x1 5 < x2 5 ; x10,5 + x1 5 < x2 0,5 + x2 5 .
Итак, из x1 < x2 следует f (x1 ) < f (x2 ), то заданная функция возрастает на D(y).

6. y = - x3 - x0,5 .
Решение.
Область определения функции y = – x3 – x0,5: D(y)= [ 0; + ∞ ).
Выберем произвольные значения аргумента x1 и x2 из D(y) такие, что x1 < x2.
Вычислим значения функции f (x1 )= – x1 3 – x10,5 и f (x2 )= – x2 3 – x2 0,5.
По свойствам числовых неравенств имеем: – x1 3 > – x2 3 ; – x10,5 > – x2 0,5 ; –x10,5 (x1 2,5 + 1) > – x2 (x2 2,5 +1); – x1 3 – x10,5 > – x2 3 – x 2 0,5 .
Итак, из x1 < x2 следует f (x1 ) > f (x2 ) , то заданная функция убывает на D(y).