К экзамену

*
Это нужно знать
Здравствуйте.
Перед экзаменом Вам по графику назначены консультации, и предлагаемая ниже, информация этих консультаций не отменяет, но к консультации рекомендуется внимательно просмотреть все темы лекций и алгоритмы решений задач по этим темам (в каждом билете будут задачи по трём разным темам), а также подготовить, не ясные для Вас, вопросы, вспомнить задачи из контрольных работ и практикумов из рабочей тетради. На консультации необходимо с собой иметь, оформленный формат А3 (рамка, основная надпись).
Вам предлагаются примеры, которые показывают алгоритмы решения задач, и которые желательно прорешать их на бумаге или в конспекте лекций, который должен быть полным.
На экзамене должен быть документ, подтверждающий Вашу личность (паспорт или студенческий билет).

*
Это нужно знать

К экзамену нужно знать:

Задача. Построить проекции точек по координатам, заданным в миллиметрах (x,y,z): А(30,15,30); В(10,25,0) С(10,25,20). Совпадение проекций в задачах обозначать по примеру: В1 ≡ С1 (горизонтальная проекция точки В совпадает с горизонтальной проекцией точки С).
На наглядном изображении и на комплексном чертеже (рис. 1) построить профильную проекцию А3 точки А. Внести в таблицу названия все элементов чертежа аналогично таб.1.
Изображения геометрических элементов
в ортогональных проекциях
*
Это нужно знать

Рис. 1. Комплексный чертёж и наглядное изображение точки А
x
z
y
o
A2
A1
Π2
y
O
y
x
z
A1
A
A2
Ax
П3
П1
а
б
Ax
ХА
ХА
ZА
ZА
YА
YА
Не торопитесь листать !!!! СЛУШАЙТЕ.
*
Это нужно знать

Для создания комплексного чертежа (см. рис.) для точки, необходимо по её координатам А (45, 36,25 ) построить три её проекции:
По оси х от точки О отложить абсциссу ОАх размером 45 мм;
Через Ах провести вертикальную линию проекционной связи, на которой вверх отложить аппликату АхА2 = 25 мм, а вниз ординату АхА1 = 36 мм;
Через А1 провести горизонтальную линию связи А1Ау. Точку Ау перенести вправо на ось х и восстановить из неё перпендикуляр до пересечения с продолжением А2Аz
х
у
у
z
Рис. Построение комплексного чертежа
О
45
25
36
Ах
Ау
Аz
А2
А3
А1
*
Это нужно знать

3. Какая из точек, заданных на рис. 2, принадлежит плоскости П1 ?
x
y
z
y
Рис. 2
А2
А3
А1
В1
В2
В3
С3
С2
С1
D3
D2
D1
О
Y
*
Это нужно знать

Ответы к задаче 3 для точки А
x
ХА
ZА
*
Это нужно знать

П1
П2
П3
Ответ к задаче 3 для точки В
*
Это нужно знать

x
С3
С2
С1
YC
ZА
Ответ к задаче 3 для точки С
*
Это нужно знать

x
D3
D1
ХD
YА
D2 ≡ DX
DY
Ответ к задаче 3 для точки D
*
Это нужно знать

Построить следы плоскости Σ (∆ АВС).
А1
А2
В2
В1
С2
С1
Sx
F1
H2
F≡F2
F'≡F'2
F'1
Н≡Н1
Н≡Н'1
Н'2
h0≡h1
f0≡f2
П1
П2
y
z
O
Х
D2
D1
h1
h2 11
12
21
f1
31
f2
42
32
1
2
*
Это нужно знать

Плоскость на комплексном чертеже.
Задача: Построить следы плоскости Σ (ΔАBC) и угол её наклона α к π1.
Н1≡ Н2≡ Н ≡F ≡ F2≡ F1
12
11
F′2≡ F′
F′1
H′2≡ H′
F′1
f0
h0
*
Это нужно знать

Определить взаимное положение прямой ℓ
и плоскости Г(a ∩ b)
a2
b2
ℓ1
a1
b1
12
22
11
21
K1
K2
ℓ2
c2
≡ 32
31
y11
y31
41≡ 51
Z 42
Z 52
42
52
*
Это нужно знать

21. Определить взаимное положение прямой ℓ и плоскости Г(f0 ∩ h0).
ℓ2
ℓ1
Sx
12
K2
K1
22
f0 ≡ f20
h0 ≡ h10
21
11
h20 ≡ f10
c2
≡ 32
31
y11
41≡ 51
42
52
z42
*
Это нужно знать

f0 ≡ f20
h0 ≡ h10
22
21
12
11
ℓ1
ℓ2
14
24
М2
31
32
34
20 мм
М4
М1
х2,1
х1,4
f40
α⁰
Задача 37. На прямой ℓ определить точку М, удаленную от плоскости
Σ (h0 ∩ f0 ) на расстояние 20 мм и определить угол наклона Σ к горизонтальной плоскости проекций.
*
Это нужно знать

Дано: α (∆ ABC), β (∆ DEF);
Определить взаимное положение плоскостей
A2
A1
В2
В1
С1
С2
D1
D2
E2
E1
F2
F1
γ2
δ 1
12
11
22
21
M1
M2
31
41
42
N1
N2
51
Y3
Y5
≡ 62
61
x2,1
71 ≡ 81
82
72
≡52
32
Y4
Y6
*
Это нужно знать

2. Взаимное пересечение поверхностей. Общий алгоритм отыскания линии пересечения.
Необходимо воспользоваться вспомогательными проецирующими плоскостями
Задача: Достроить горизонтальную проекцию пирамиды с призматическим отверстием
Σ
Σ
*
Это нужно знать

Виды проецирования в начертательной геометрии. Сущность, практическое применение и свойства ортогонального проецирования. (С графическими пояснениями
*
Это нужно знать

Виды проецирования
В начертательной геометрии изображения получают графическим методом с использованием операции проецирования (от латинского projectio – бросание вперед). Проекция – это отображение образа (предмета) на плоскость проекций.
Идею метода можно рассмотреть на примере проецирования любого образа.
Виды проецирования подразделяют на центральное и параллельное.
*
Это нужно знать

Центральное проецирование
Сущность центрального проецирования заключается в том, что при этом виде должен быть центр проецирования S и плоскость проекций П1.
Свойства центрального проецирования:
1. Проекция точки– точка.
2. Проекция прямой – прямая.
3. Сохраняется взаимная принадлежность
образов и их проекций.
В машиностроительном черчении не применяется т. к. размеры оригинала не соответствуют размерам изображения.
*
Это нужно знать

Параллельное проецирование
Является частным случаем центрального проецирования в котором центр проецирования S удален в бесконечность и проецирующие прямые в этом случае принимаются за параллельные.
Подразделяется на :
1. Косоугольное;
2. Прямоугольное (ортогональное)
*
Это нужно знать

Свойства параллельного проецирования
При параллельном проецировании сохраняются следующие свойства:
1. Проекция точки есть точка.
2. Проекция прямой есть прямая.
3. Сохраняется взаимная
принадлежность образов и их
проекций (если точка принадлежит
линии, то ее ортогональные проекции
принадлежат соответствующим
проекциям линии).
4. Сохраняется простое отношение трех точек.
*
Это нужно знать

5. Если прямые параллельны друг другу в пространстве, то их соответствующие проекции также параллельны.
6. Если точка С делит отрезок в данном соотношении, то ее проекции делят проекции прямой в том же отношении.
π1
b1
а1
а1
b
C1
C
*
Это нужно знать

Иллюстрация параллельного и центрального проецирования
При параллельном проецировании, так же как и при центральном, каждая точка пространства имеет на плоскости П1одну проекцию, но эта проекция не определяет положения точки в пространстве. Следовательно, однопроекционный чертеж, полученный методом параллельного проецирования, необратим. Различают прямоугольное (ортогональное) и косоугольное параллельное проецирование, в зависимости от угла, образованного направлением проецирования с плоскостью проекций.
А1
А1
В1
В
S
S
А1
В
В1
А1
*
Это нужно знать

h2
С2
А2
В2
С1
А1
В1
х 1,4
х 2,1
h1
D2
D1
D4
С4
А4
В4
E4
E1
E2
α⁰
12
11
v
v
Метрические задачи.
Задача: Определить расстояние от точки D до α (ΔАBC) и угол наклона Σ к π1.
*
Это нужно знать

S2
S1
a2
П1
П2
12
11
14
S4
A4
C2 ≡D2
C1
B1
D1
A1
B4
a1
h2
h1
D2
B2
C2
h4
Х1,2
Х 1,4
Г4
21
22
31
32
41
42
51
52
M1
N1
M2
N2
х
х
A2
Σ4
Построение линии пересечения поверхности конуса плоскостью Г
*
Это нужно знать

X 2,1
S 2
O 2
O 1
≡
S 1
h 2
h 1
A1
A2
X1,4
h 4
A4
a
a
S4
R
*
Это нужно знать

Задача: На расстоянии 30 мм от плоскости Σ(h0 ∩ f0) построить плоскость Γ (h ∩ f)
h0
f0
Sx
х2,1
М2
М1
ℓ2
ℓ1
Δ2
12
22
11
21
М1
М2
≡ 32
31
Δz
y31 > y11
Δz
N1
М1N1 величина натуральная, поэтому на ней и откладываются заданные 30 мм и переносятся на проекции перпендикуляра в точку 4( 41,42)
41
42
Γ1
Γ2
30 мм
h2
h1
f1
f2
*
Это нужно знать

X 2,1
А2
А1
С1
С2
В1
В2
S2
S1
ℓ1
ℓ2
ℓ2 ≡ α
11
22
12
21
32
42
31
41
K1
M1
Пересечение поверхностей прямой. Общий алгоритм отыскания точек пересечения.
Задача: Найти точки входа и выхода при пересечении прямой а с поверхностью пирамиды.
*
Это нужно знать

*
Это нужно знать
Построение линии пересечения поверхности призмы с плоскостью общего положения
X 2,1
А1
А2
В2
В1
С2
С1
А'2
В'2
С'2
С'1
В'1
А'1
X ,1,4
14
12
11
24
34 ≡ 44
31
42
41
21
32
22

B1
C1
A1
B2
C2
A2
S2
S1
F2
E2
D2
F′2
E′2
D′2
F1
E1
D1
11
21
31
41
61
51
12
22
32
42
62
52
71
81
91≡101
72
92
82
102
Пример пересечения
призмы с пирамидой
*
Это нужно знать

12
22
Q2
A2
900
O2
42
32
62
52
Г2
В2
O2’
Пример построения линии пересечения прямого кругового конуса и тора
*
Это нужно знать

*
Это нужно знать
Пример определения расстояния способом прямоугольного треугольника
X2,1
A2
B2
B1
A1
A0
A0
αº
βº
Натуральная величина
yA
yB
∆y = yB – yA
zB
zA
∆z = zB – zA
αº
Угол наклона прямой к горизонтальной плоскости проекций П1
βº Угол наклона прямой к фронтальной плоскости проекций П2
∆z = zB – zA

S2
S1
А1
B1
C1
А2
B2
C2
А0
C0
B0
S0
А0
C0
B0
А0
B0
D2
12
11
D1
10
D0
10
D0
Алгоритм построения развертки наклонной пирамиды
S1
*
Это нужно знать

X2,1
А1≡А1'
В1≡В1'
С1≡С1'
С2
В2'
В2
А2
А2'
С2'
В3'
С3'
А3'
А3
В3
С3
12
22
32
33
23
13
X2,4
34
24
14
Пример определения натуральной величины сечения поверхности призмы плоскостью
*
Это нужно знать
Δ2

*
Это нужно знать
Построение развертки призмы
Δ2
X2,1
А1
В1
С1
С2
В2'
В2
А2
А2'
С2'
А1'
В1'
С1'
12
32
22
11
31
21
X2,4
14
24
34
10
20
34
10
А0'
А0
В0'
В0
С0'
С0
А0'
А0
А0
А0'
М2
М2
М0
Способ нормального сечения

*
Это нужно знать
Построение развертки цилиндра способом раскатки
12
42
1′2
4′2
O2
O′1
O′2
O1
22 ≡≡ 62
32 ≡ 52
2′2 ≡ 6′2
3′2 ≡ 5′2
Натуральный вид сечения и развертка
цилиндрической поверхности

*
Это нужно знать
h0
f0
х2,1
х1,4
12
11
14
Σ

3. Прямые и плоскости, касательные к поверхностям. (С графическими пояснениями). Рассмотрим примеры построения касательных плоскостей к линей-
чатым поверхностям с параболическими точками. К таким поверхностям относятся поверхности конуса и цилиндра. В таких случаях касательная плоскость к поверхности в заданной её точке должна определяться двумя прямыми, касательными к двум пересекающимися в этой
точке кривым линиям поверхности. Касательную плоскость к заданной
точке для конуса и цилиндра можно определить двумя пересекающими-
ся прямыми. Одна из этих прямых образующая, проходящая через за-
данную точку, а вторая является касательной к любой кривой линии поверхности, проходящей через заданную точку.
Пример 1. Построить касательную плоскость к поверхности конуса и проходящую через точку А, лежащую на его поверхности.
S1≡O1
O2
S2
M2
12
11
M1
*
Это нужно знать
α1
α2