КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ

Касательная к окружности

Взаимное расположение
прямой и окружности
Возможны три случая
Имеют две общие точки ( d
2. Имеют одну общую точку (d=r)
3. Не имеют общих точек (d>r)
r – радиус окружности, d – расстояние от центра окружности до прямой с
р
р
р

Прямая и окружность имеют две общие точки
А
В
О
Н
p
Точки А и В лежат на окружности, являются общими точками прямой р и окружности
d

Прямая и окружность имеют одну общую точку
d=r
OH=r
Точка Н лежит на окружности и является общей точкой прямой и окружности
Н
М
О
d=r
р

Прямая и окружность не имеют общих точек
d>r
OH>r, OM ≥ OH > r
Прямая и окружность не имеют общих точек
О
Н
М
d>r
р

КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ
Определение. Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется к окружности.
А
А - точка касания
О
р
Это интересно!
касательной

А
С
В
На рисунке точки А, В, С лежат на одной прямой.
.

(О свойстве касательной)
Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания
.
1.Пусть р ОА, тогда ОА – наклонная к прямой р.
2. Так как перпендикуляр , проведенный из точки О к прямой р, меньше наклонной ОА, то расстояние от центра О окружности до прямой р меньше радиуса.
3. Из пп. 1 и 2 следует прямая и окружность имеют две общие точки, что противоречит условию ( прямая р – касательная ).
Поэтому р ОА. Теорема доказана.
ТЕОРЕМА
Дано: окр(О,ОА), р – касательная к окружности, А – точка касания.
Доказать: р ОА
Доказательство:

Каким может быть взаимное расположение прямой и окружности?
Как называется прямая, которая имеет с окружностью две общих точки?
Какая прямая называется касательной к окружности?
Какая точка называется точкой касания прямой и окружности?
Сформулируйте теорему о свойстве касательной ( к следующему уроку попробуй выучить доказательство).
Предлагаем ответить на вопросы теста по изученной теме
1) На рисунке прямая по отношению к окружности
А секущая Б касательная С нет правильного ответа
2) Прямая – касательная по отношению к окружности.
Она образует с радиусом, проведенным в точку касания угол
А острый Б прямой С тупой
Проверь себя!

№ 631
а) d < r, прямая и окружность имеют две общие точки,
б) d > r, прямая и окружность не имеют общих точек,
д) d = r, прямая и окружность имеют одну общую точку

Решите задачу.
В
М
О
5см
Дано: Окр(О; r),
ВМ – касательная,
С – точка касания.
Найти: расстояние от
точки О до
прямой ВМ.
Ответ. 5см.
С

Решите задачу
А
О
В
С
3см
2см
Дано: Окр(O; r ),
АВ – касательная,
В – точка касания,
СО=3см, СА=2см.
Найти: АВ ?
Решение.
1) ОС=ОВ=3см (радиусы одной окружности).
По теореме о свойстве касательной ОВ, АОВ – равнобедренный.
По теореме Пифагора найдём АВ, АВ=4см.
Ответ. 4см.

№ 635
О
А
р
?
Дано: Окр (о; r), р – касательная,
АВ – хорда, АВ = r.
Найти: ВАО ?
В
Решение.
В ВАО, ОА=ОВ=АВ=r.
Поэтому ВАО – равнобед-
ренный, и ВАО=60
ВАО=60
Ответ.

Домашнее задание №631(в.г)
№634
Итоги урока.