Квадрат Пирсона

Однажды во время летних каникул, мама спросила меня, сколько
частей девятипроцентного и семидесятипроцентного уксуса надо
взять, чтобы получить тридцатипроцентный раствор.
Сначала я решил эту задачу с помощью уравнения:
Пусть х – количество частей 9%-ого уксуса, а у – количество частей
70%-ого. Тогда мы сложим произведения частей на процентное
содержание и получим 9х+70у. Знаем, что это равно произведению
30 на сумму х и у.
По условию задачи составим и решим уравнение.
9х + 70у = 30(х+у);
9х + 70у = 30х + 30у;
40у = 21х;
Этот ответ означает, что мы должны взять 40 часть 9%-ого раствора
и 21 часть 70%-го.

В левом нижнем углу ставят меньший показатель крепости веществ (в).
Строится квадрат, и проводятся его диагонали
В правом нижнем углу после вычитания из а с получают у.
В правом верхнем углу после вычитания из с в получают х.
На пересечении диагоналей ставят требуемый показатель крепости (с).
Мы получаем, что нам надо взять х частей с концентрацией а
и у частей с концентрацией в, и мы получим смесь с концентрацией с%.
В левом верхнем углу ставят больший показатель крепости веществ (а).
C-B=X
A-C=Y
A
B
C
X
Y
Но эту задачу можно решить намного легче, используя квадрат Пирсона.
Вот как это делается.

30-9=21
70-30=40
70
9
21
У нас получился тот же самый ответ.
30
40

Если мы обратимся к формулам, то докажем, что квадрат Пирсона
всегда будет прав.
Мы получаем, что частей смеси здесь будет х + у =(с – в) + (а – с)=а – в;
«Чистого вещества» в смеси будет:
х*а + у*в = (с-в)а+(а-с)в = а*с-в*с;
100 100 100 100
А крепость смеси будет равна:
а*с-в*с = с .
100(а-в) 100 , или с%.
Задачи, которые можно решить при помощи квадрата Пирсона
Встречаются даже на Едином Государственном экзамене.
Например:

70-58=12
В ювелирную мастерскую поступило два сплава золота различной пробы:
58% и 95%. Сколько граммов сплава с 95%-ным содержанием золота
нужно взять, чтобы получить 37г сплава с 70%-ным содержанием золота?
95-70=25
95
58
70
12
25
Пусть k- коэффициент пропорциональности.
12k+25K=37;
k=1.
Значит, мы должны взять 12 г золота с 70% концентрации.

9-2=7
2-0=2
Пусть k- коэффициент пропорциональности.
2k=100;
k=50.
7k=50*7=350;
Значит, мы должны взять 350 г воды, чтобы получить раствор
нужной концентрации.
Для приготовления маринада необходим 2%-ый раствор уксуса. Сколько
нужно добавить воды в 100 г 9%-го раствора уксуса, чтобы получить
раствор для маринада?
9
0
2
2
7

55-2=53
Для размножения водорослей вода в аквариуме должна содержать
2% морской соли. Сколько литров пресной воды нужно добавить к 80 л
морской воды с 55%-ым содержанием соли, чтобы получить воду,
пригодную для заполнения аквариума?
Пусть k- коэффициент пропорциональности.
2k=80;
k=40.
53k=53*40=2120;
Значит, мы должны взять 2120 л воды, чтобы получить воду, пригодную
для заполнения аквариума.
2-0=2
55
0
2
2
53

Но задачи, решаемые с помощью квадрата Пирсона встречаются и в
различных олимпиадах.
Например, мне встретилась очень интересная задача во время решения
заданий заочной школы при Московском физико-техническом университете.
Вот она:
При переработке молока жирностью 5,8 % получают творог и сыворотку
жирностью 19,33% и 0,63% соответственно. Сколько килограмм творога
получат при переработке 18,7 кг творога?
Давайте решим её с помощью квадрата Пирсона.

Пусть k- коэффициент пропорциональности.
5,17k+13,53k=18,7;
k=1.
5,17k=5,17*1=5,17;
Значит, мы получим 5,17 кг творога.
19,33-5,8=13,53
5,8-0,63=5,17
19,33
0,63
5,17
13,53
5,8