Квазикристаллы. Мозаики Пенроуза

КВАЗИКРИСТАЛЛЫ
Шехтман получил первую микрофотографию структуры квазикристалла в 1982 году. В отличие от привычных изображений кристаллов, рисунок расположения атомов в квазикристалле не был периодическим.
Результаты Шехтмана были неоднозначно восприняты научным сообществом. Защищая свою работу, ученый вынужден был покинуть исследовательскуб группу, в которой он состоял на тот момент.
В 2010 году в России был впервые обнаружен природный минерал, обладающий квазикристаллической структурой.
Модель квазикристалла может быть создана на основе мозаики Пенроуза с двумя «элементарными ячейками», соединенными друг с другом по определенным правилам. Они были придуманы английским ученым Р. Пенроузом в 70-х годах прошлого века. Существуют и другие теоретические модели, так или иначе пытающиеся разрешить споры ученых о природе квазикристаллических структур. Однако в большинстве публикаций изящные мозаики Пенроуза с двумя и более фигурами признаются наиболее правильным ключом к пониманию структуры квазикристаллов.

Р. ПЕНРОУЗ

МОЗАИКИ ПЕНРОУЗА 1

МОЗАИКИ ПЕНРОУЗА 2

МОЗАИКИ ПЕНРОУЗА 3

ЗОЛОТЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ
Мозаика Пенроуза из золотых треугольников порождается двумя золотыми равнобедренными треугольниками, для которых основание остроугольного треугольника равно боковой стороне тупоугольного.
Напомним, что золотым треугольником называется равнобедренный треугольник, у которого боковая сторона и основание находятся в золотом отношении.
Золотые треугольники бывают двух видов: остроугольные, с углом при вершине 36о, и тупоугольные, с углом при вершине 108о.

МОЗАИКА ПЕНРОУЗА ИЗ ЗОЛОТЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Упражнение 1
Укажите способ построения мозаики Пенроуза, изображенной на рисунке, используя золотые треугольники.

Упражнение 2
Укажите способ построения мозаики Пенроуза, изображенной на рисунке, используя золотые треугольники.
Решение. Возьмем два треугольника, построенных в предыдущем упражнении, с общей боковой стороной и добавим к ним тупоугольный золотой треугольник. Получим треугольник, изображенный на рисунке. Отражая симметрично этот треугольник относительно боковой стороны, получим искомую мозаику Пенроуза.

Упражнение 3
Укажите способ построения мозаики Пенроуза, изображенной на рисунке, используя золотые треугольники.
Решение. Возьмем два треугольника, построенных в предыдущем упражнении, с общей боковой стороной и добавим к ним тупоугольный золотой треугольник. Получим треугольник, изображенный на рисунке. Отражая симметрично этот треугольник относительно боковой стороны, получим искомую мозаику Пенроуза.

Упражнение 4
Сделайте следующий шаг в построении мозаики Пенроуза из золотых треугольников, заполняющей всю плоскость.

Упражнение 5
Укажите способ построения мозаики Пенроуза, изображенной на рисунке, используя золотые треугольники.

Упражнение 6
Укажите способ раскраски мозаики Пенроуза, изображенной на рисунке, так, чтобы она состояла только из четырехугольников двух видов.

Упражнение 7
Укажите способ построения мозаики Пенроуза, изображенной на рисунке, используя золотые треугольники.