Лекция 8

Случайная функция
Это функция неслучайного аргумента, которая
при каждом фиксированном значении аргумента
является случайной величиной
Случайный процесс
Неслучайный аргумент t-время

Статистические характеристики случайной функции (изучает корреляционная теория)
1. Математическое ожидание - неслучайная функция -
при каждом значении t = мат. ожиданию сечения.
2. Дисперсия - неслучайная функция,
состоит из дисперсий сечений.
3. Корреляционная функция (автокорреляция)
равна коэффициенту корреляции между двумя
сечениями..

Стационарный случайный процесс
1.Математическое ожидание постоянно (стационарность в широком смысле).
2. Автокорреляционная функция зависит
только от разности аргумента.
В.Е. Гмурман. Теория вер. и мат. статистика. Стр. 386-449

Анализ временных рядов
Временной ряд - реализация
(траектория, выборочная функция)
случайной функции.
временным рядом называют последовательность
наблюдений, упорядоченных по времени
Аргумент (t) дискретно меняется через равные
промежутки.

Временной ряд
Реализация случайного процесса -
неслучайная функция аргумента t (времени) - результат экспериментов (опытов).
Временной ряд (случайная последовательность)
Аргумент (t) дискретно меняется через равные
промежутки.

Визуализация временного ряда
месячные международные авиаперевозки (в тысячах)
в течение 12 лет.
(Бокс и Дженкинс, 1976, стр. 531)

Модель временного ряда
Y(t) = f(t)+g(t)+ε(t)
случайная составляющая
периодическая (сезонная) составляющая
тренд

Анализ тренда
Не существует "автоматического" способа
обнаружения тренда в временном ряде.
Два распространенных способа:
1) если тренд монотонный (возрастает или убывает), то используется регрессионный анализ;
2) если большая ошибка (разброс в значениях), то сначала делают сглаживание (окнами), потом регрессионный анализ.

Анализ периодической (сезонной) составляющей
1. Анализ автокорреляций (процесс авторегрессии
и скользящего среднего АРПСС - модель не
известна. Прогноз по предыдущим
значениям с осреднением)
2. Анализ Фурье. Периодограмма.
Отличие от АРПСС и
экспоненциального сглаживания -
периоды заранее неизвестны.

Анализ Фурье
модель

Оценки коэффициентов по МНК

Оценки коэффициентов по МНК (продолжение)

Модель с амплитудой и фазой

Периодограмма или линейчатый спектр Фурье
Интенсивность k-той гармоники

Оценка дисперсии величины x(ti)

1. Выделение значимых гармоник по критерию Фишера

Выделение значимых гармоник по вкладу доминирующих гармоник в дисперсию

Модель после выделения гармоник

Алгоритм расчета коэффициентов разложения в ряд Фурье

Алгоритм расчета коэффициентов разложения в ряд Фурье

Алгоритм расчета коэффициентов разложения в ряд Фурье

Алгоритм расчета коэффициентов разложения в ряд Фурье