Слайд 2Становление – конец XIX века
Карл Рунге
Алексей Николаевич Крылов
![Становление – конец XIX века Карл Рунге Алексей Николаевич Крылов](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/432227/slide-1.jpg)
Слайд 3Основные задачи
Физические модели – дифференциальные уравнения
Приближенное решение нелинейных дифференциальных уравнений или систем
![Основные задачи Физические модели – дифференциальные уравнения Приближенное решение нелинейных дифференциальных уравнений или систем](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/432227/slide-2.jpg)
Слайд 4Пример простой математической модели
Общая схема функционирования ССК
(М.А.Пантелеев, Ф.И.Атауллаханов)
![Пример простой математической модели Общая схема функционирования ССК (М.А.Пантелеев, Ф.И.Атауллаханов)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/432227/slide-3.jpg)
Слайд 5Пример простой математической модели
Система в частных производных без учета конвективных потоков
![Пример простой математической модели Система в частных производных без учета конвективных потоков](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/432227/slide-4.jpg)
Слайд 6Проблемы
Непрерывная задача – дискретная задача
Качество приближения
АППРОКСИМАЦИЯ
![Проблемы Непрерывная задача – дискретная задача Качество приближения АППРОКСИМАЦИЯ](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/432227/slide-5.jpg)
Слайд 7Проблемы
Действительное число (бесконечная десятичная дробь) – операции с конечной длиной мантиссы
Ошибки округления
УСТОЙЧИВОСТЬ
![Проблемы Действительное число (бесконечная десятичная дробь) – операции с конечной длиной мантиссы Ошибки округления УСТОЙЧИВОСТЬ](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/432227/slide-6.jpg)
Слайд 8Проблемы
Корректность постановки – непрерывная зависимость от начальных данных
ОБУСЛОВЛЕННОСТЬ
![Проблемы Корректность постановки – непрерывная зависимость от начальных данных ОБУСЛОВЛЕННОСТЬ](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/432227/slide-7.jpg)
Слайд 9Погрешности
Пусть u и u* — точное и приближенное значение некоторой величины соответственно.
![Погрешности Пусть u и u* — точное и приближенное значение некоторой величины](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/432227/slide-8.jpg)
Тогда абсолютной погрешностью приближения u* называется величина ∆, удовлетворяющая неравенству
Слайд 10Погрешности
Относительной погрешностью называется величина
удовлетворяющая неравенству
Обычно используется запись
![Погрешности Относительной погрешностью называется величина удовлетворяющая неравенству Обычно используется запись](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/432227/slide-9.jpg)
Слайд 11Погрешности
Машинный эпсилон
машинным ε называют наибольшее из чисел, для которых в рамках используемой
![Погрешности Машинный эпсилон машинным ε называют наибольшее из чисел, для которых в](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/432227/slide-10.jpg)
системы вычислений выполнено 1 + ε = 1
Слайд 121. Задача численного дифференцирования
Пусть задана таблица значений xi. В дальнейшем совокупность точек
![1. Задача численного дифференцирования Пусть задана таблица значений xi. В дальнейшем совокупность](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/432227/slide-11.jpg)
на отрезке, котором проводятся вычисления, иногда будут называться сеткой, каждое значение xi — узлом сетки. Пусть сетка равномерная, и расстояние между узлами равно — шагу сетки. Пусть узлы сетки пронумерованы в порядке возрастания
Слайд 131. Задача численного дифференцирования
Производная
Конечная разность
(1)
![1. Задача численного дифференцирования Производная Конечная разность (1)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/432227/slide-12.jpg)
Слайд 141. Задача численного дифференцирования
Погрешность формулы (1)
Пусть f – проекция на сетку дважды
![1. Задача численного дифференцирования Погрешность формулы (1) Пусть f – проекция на](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/432227/slide-13.jpg)
непрерывно дифференцированной функции, тогда
Слайд 151. Задача численного дифференцирования
Полная погрешность
![1. Задача численного дифференцирования Полная погрешность](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/432227/slide-14.jpg)
Слайд 161. Задача численного дифференцирования
Оптимальный шаг дифференцирования
![1. Задача численного дифференцирования Оптимальный шаг дифференцирования](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/432227/slide-15.jpg)
Слайд 171. Задача численного дифференцирования
Формула второго порядка
(2)
![1. Задача численного дифференцирования Формула второго порядка (2)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/432227/slide-16.jpg)
Слайд 181. Задача численного дифференцирования
Оптимальный шаг для формулы второго порядка (2)
![1. Задача численного дифференцирования Оптимальный шаг для формулы второго порядка (2)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/432227/slide-17.jpg)
Слайд 191. Задача численного дифференцирования
Вычисление второй производной
![1. Задача численного дифференцирования Вычисление второй производной](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/432227/slide-18.jpg)
Слайд 201. Задача численного дифференцирования
Метод неопределенных коэффициентов
Введем на рассматриваемом отрезке шаблон из нескольких
![1. Задача численного дифференцирования Метод неопределенных коэффициентов Введем на рассматриваемом отрезке шаблон из нескольких точек](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/432227/slide-19.jpg)
точек
Слайд 211. Задача численного дифференцирования
Раскладываем в ряд Тейлора в окрестности x
![1. Задача численного дифференцирования Раскладываем в ряд Тейлора в окрестности x](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/432227/slide-20.jpg)
Слайд 221. Задача численного дифференцирования
Система линейных уравнений метода неопределенных коэффициентов
…
![1. Задача численного дифференцирования Система линейных уравнений метода неопределенных коэффициентов …](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/432227/slide-21.jpg)
Слайд 23Система
1. Задача численного дифференцирования
![Система 1. Задача численного дифференцирования](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/432227/slide-22.jpg)
Слайд 241. Задача численного дифференцирования
Определитель данной матрицы — детерминант Вандермонда. Из курса линейной
![1. Задача численного дифференцирования Определитель данной матрицы — детерминант Вандермонда. Из курса](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/432227/slide-23.jpg)
алгебры известно, что он не равен нулю. Тогда существует единственный набор коэффициентов α, который позволяет найти на шаблоне из (1 + l + m) точек значение первой производной с точностью
Слайд 251. Задача численного дифференцирования
Для нахождения второй производной можно использовать ту же самую
![1. Задача численного дифференцирования Для нахождения второй производной можно использовать ту же](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/432227/slide-24.jpg)
формулу с небольшой модификацией
Слайд 261. Задача численного дифференцирования
Система уравнений
![1. Задача численного дифференцирования Система уравнений](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/432227/slide-25.jpg)