Математика

Условные обозначения
При работе с обучающей презентацией вы можете воспользоваться кнопками:
- Переход к главному или подчиненному меню
- Вызов задачника
- Переход к предыдущему слайду
- Переход к следующему слайду внутри темы
выход
- Выход из обучающей презентации

Решение задач
Алгоритм решения задач
Задачи на сравнение и на сумму
Задачи на работу
Задачи на движение
Задачи на движение лодки по реке
Задачи на нахождение части и целого
Задачи на проценты
Задачи с геометрическим смыслом
выход

Алгоритм решения задач
Чтобы решить задачу нужно придерживаться следующей схемы.

Рассмотрим задачу: Тетрадь стоит 40 коп, а ручка на 20 коп дороже. Сколько стоит 3 тетради и ручка?

В тетради задачу оформляют по следующей схеме:
Условие задачи либо переписывается, либо записывается коротко, оформляется в виде таблицы, чертежа.
Решение записывается коротко, с подробным решением.
Если требует условие задачи или решались сложные уравнения, то выполняется проверка.
После решения записывается ответ.
Например оформим задачу: Тетрадь стоит 40 коп, а ручка на 20 коп дороже. Сколько стоит 3 тетради и ручка?
Решение:
1. 40+20=60 (коп) – цена одной ручки
2. 3*40=120 (коп) – стоимость 3 тетрадей
3. 60+120=180 (коп) = 1 грн 80 коп - стоимость всей покупки
Ответ: 1 грн 80 коп

Задачи на сравнение величин.
Если сравниваются между собой величины с предлогом «на», то над величинами производятся действия вычитания или сложения.
Если сравниваются между собой величины с предлогом «в», то над величинами производятся действия умножение или деление.
Если одна величина «на» или «в» несколько раз больше, то другая, соответственно, «на» или «во» столько же раз меньше.
Например: Один комбайнер намолотил 231 т зерна, а второй – на 46 т меньше.
Например: На уборке картофеля собрали 1650 кг за день. После обеда собрали в 2 раза меньше, чем до обеда.
2-й
1-й

Задачи на сложение величин.
Суммарное действие над объектами определяется операцией сложения.
Например: На уборке картофеля собрали 1650 кг за день. После обеда собрали в 2 раза меньше, чем до обеда.. Сколько собрали картофеля за день?
До обеда
после обеда
+
= ?

На одной полке 16 книг, а на другой – на 4 книги больше.
Сколько книг на второй полке?
Сколько книг на двух полках?
2. Один велосипедист за 3 часа проехал 45 км, а второй за 4 часа – 74 км. На сколько километров в час второй велосипедист проезжает больше, чем первый?
3. Вася и Петя собирали грибы. Вася нашел 23 гриба, а Петя – на m грибов больше.
Сколько грибов нашел Петя?
Сколько грибов мальчики собрали вместе?
4. Второе число в 2 раза больше первого, третье в 4 раза больше первого, а их сумма равна 222.
Какое уравнение соответствует решению задачи?
Чему равно первое число?
Задачи на сравнение и сложение величин
Задачи.
12
да
20
64
4
10
нет
нет
36
да
23
23+m
m
46
23+m
46+m
X=222
9x=222
X+8x=222
20
5
3,5
2x
24
x

Задачи на
движение
В задачах на движение участвуют понятия: путь, пройденный телом (расстояние), скорость движения тела и время за которое тело прошло заданное расстояние.
В математике приняты обозначения: S – путь, t- время, v- скорость.
Тогда существует формула расчета пути: S=v*t,
из этой формулы выводятся формулы вычисления
времени t=S:v
скорости:v=S:t.
Например: Из станицы в город колхозник ехал на автомобиле со скоростью 55 км/ч. На всю дорогу он потратил 2ч.
По этим данным можно определить пройденный путь: S=v*t =55*2=110 (км).
Условие задач на движение можно оформлять в виде рисунков на которых линией обозначают путь, стрелочкой – направление движения:

Решим задачу: Из станицы в город колхозник ехал на автомобиле со скоростью 55 км/ч. На всю дорогу он потратил 2ч. Из города в станицу он ехал на мопеде со скоростью 22 км/ч. За сколько времени колхозник доедет до станицы?
Условие задачи можно составить в виде таблицы:
Решение:
1. По данным движения из станицы в город можно определить расстояние от города до станицы: S=v*t=55*2=110 (км)
2. Обратно он проехал такое же расстояние S=110, найдем время, которое затратил колхозник на обратный путь t=S:v=110:22=5 (ч)
Ответ: 5ч

Рассматривают несколько видов задач.
Задачи со встречным движением.
Если в задачи описывается движение объектов на встречу друг другу, то скорости сближения объектов находятся как сумма скоростей самих объектов: v=v1+v2.
Например: С двух станций, расстояние между которыми 720 км вышли одновременно навстречу друг другу два поезда. Скорость первого поезда 75 км/ч, а второго на 10 км/ч больше. На каком расстоянии друг от друга будут поезда через 4ч?
Решение.
1. Определим скорость второго поезда:
75+10=85 (км/ч)
2. Так как поезда двигались на встречу друг другу, то скорость их сближения равна сумме скоростей:
75+85=160 (км/ч)
3. За 4ч они вместе прошли 160*4=640 (км)
4. Между поездами осталось расстояние 720-640=80 (км)
Ответ: 80 км.
Можно было рассуждать и по другому:
узнать отдельно расстояние каждого поезда за 4ч
(75*4=300 км, 85*4=340 км)
2.их сложить и вычесть из всего расстояния.
720-(300+340)=720-640=80 км

Задачи с движением в одном направлении.
Если движение объектами выполняется в одном направлении, то расстояние между объектами или сокращается (второй двигается быстрее первого) или увеличивается (второй двигается медленнее. В обеих случаях для нахождения скорости изменения расстояния между ними скорости объектов вычитаются (из большей меньшая): v=v1-v2
Например: Расстояние между собакой и кошкой 30м. Через сколько секунд собака догонит кошку, если скорость собаки 10 м/с, а кошки 7 м/с?
Решение:
1. Так как кошка и собака двигались в одном направлении, то скорость их сближения равна разности скоростей: 10-7=3 (м/с)
2. Тогда они пройдут расстояние 30м за 30:3=10 (с)
Ответ: 10с
Можно эту задачу решить с помощью уравнения:
Пусть время, через которое собака догонит кошку равно х, тогда за это время собака пробежит расстояние 10х, а кошка 7х. Но в начале пути между ними было расстояние 30м, тогда составим уравнение: 10х-7х=30 и решим его:
3х=30;
х=10 (с).

Задачи с движением в противоположном направлении.
Если движение объектами выполняется в противоположном друг от друга направлении, то чтобы определить с какой скоростью они отдаляются нужно их скорости сложить: v=v1+v2
Например: Чебурашка и крокодил Гена вышли из одного пункта в разных направлениях, какое будет между ними расстояние через 5 мин, если Чебурашка идет со скоростью 70 м/мин, а Гена 60 м/мин?
Решение:
1. Так как Чебурашка и крокодил Гена двигались в противоположном направлении, то скорость их отдаления равна сумме скоростей: 70+60=130 (м/мин)
2. Тогда, через 5 мин расстояние между ними будет составлять 130*5=650 (м)
Ответ: 650 м
Решим другим способом:
Найдем расстояние пройденное Чебурашкой (70*5=350 м) и Геной (60*5=300 м) отдельно.
Так как они отдаляются друг от друга, то расстояние складывается: 350+300=650 м.

Навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля: грузовой – со скоростью 45 км/ч и легковой – со скоростью 76 км/ч. Они встретились через 2ч.
Какое расстояние проехала грузовая машина?
Какое расстояние было между машинами
первоначально?
2. Из одного пункта в разные стороны выехали грузовая и легковая автомашины, со скоростью по условию первой задачи.
Какое расстояние будет между ними через 2ч?
3. Если грузовая и легковая машины из условия первой задачи едут из одного пункта в одном направлении.
Какое расстояние будет между ними через 2ч?
Задачи на движение
Задачи.
90км
22,5км
45км
152км
62км
50км
90км
90км
242км
242км
242км
62км

Лодка движется в стоячей воде (озеро) с собственной скоростью, которую обозначим Vлодки, река движется со своей скоростью Vреки,
тогда по реке лодка едет со скоростью равной сумме скорости лодки и реки (как бы подталкивая) V=Vлодки+Vреки,
против течения теки лодки идет со скоростью равной
разности скорости лодки и реки (как бы придерживая)
V=Vлодки-Vреки
Например: Теплоход идет по течению реки. Какова скорость движения теплохода, если скорость течения реки 4 км/ч, а собственная скорость теплохода равна 21 км/ч.
Скорость течения реки – 4 км/ч
Скорость теплохода – 21 км/ч
Раз движение происходит по течению реки (лодку подталкивает течение реки), то скорости складываются:
V=Vлодки+Vреки=21+4=25 (км/ч)
Задачи на движение лодки по реке

Решим задачу: Собственная скорость лодки 4,5 км/ч, скорость течения реки – 2,5 км/ч. Какое расстояние пройдет лодка, если будет двигаться по течению 4ч а затем 3ч против течении?
Решение:
Скорость течения реки –2,5 км/ч
Скорость лодки– 4,5 км/ч
Сначала лодка шла по течению
реки, тогда ее скорость
V=Vлодки+Vреки=4,5+2,5=7 (км/ч)
Так она прошла расстояние: S=7*4=28 (км)
2. Затем лодка шла против течения реки со скоростью
V=Vлодки-Vреки=4,5-2,5=2 (км/ч)
и прошла S=3*2=6(км)
3. Весь путь составил 6+28=34 (км)
Ответ: 34 км.

Теплоход идет вниз по течению реки 2ч. Какое расстояние он пройдет, если его собственная скорость равна 21 км/ч, а скорость реки 4 км/ч?
Какое расстояние пройдет тот же теплоход, если будет двигаться против течения реки 2ч?
2. Против течения лодка шла 7ч со скоростью 10 км/ч. За сколько часов лодка прошла обратный путь, если ее скорость по течению реки составила 14 км/ч?
Какова собственная скорость лодки?
3. Самолет летел 5ч против ветра и 3ч при попутном ветре. Какое расстояние пролетел самолет, если его скорость 700 км/ч, а скорость ветра 30 км/ч?
Задачи на движение по реке.
Задачи
50км
12км
36км
34км
15км
50км
5ч
17ч
43ч
12км/ч
2км/ч
30км/ч
5540км
5000км
23км

Задачи, речь в которых идет о
выполнении какого-либо задания
людьми или машинами : полевые работы,
ремонтные работы, выпуск продукции,
печать документов секретарями а
так же заполнение водой бассейна
относятся к задачам на работу.
Объем выполненных работ (всю работу) принято обозначать буквой V.
Если объем работы не известен, то его принимают за 1.
Часть работы, которую человек или машина выполняют за единицу времени (за 1 ч, за 1мин, за 1 смену и т.д) называют производительностью труда и обозначают буквой A.
Время работы обозначим t. Тогда справедлива формула: V=A*t, или A=V:t, t=V:A.
Задачи на работу

Приведем несколько условий задач, которые относятся к задачам на нахождение работы.
Задача1. Одна бригада за смену вытачивает 200 деталей,
сколько деталей она выточит в течении недели?
В задаче известна производительность A=200 дет/смену, и время t=7 дней, необходимо узнать объем задания V.
Решение: V= A* t=200*7=1400 дет
Задача2. Необходимо трактористу вспахать поле площадью 120га.
Сколько времени ему потребуется, если за час он может вспахать 2 га.
В задаче известен объем задания V=12га, производительность A=2 га/час, необходимо узнать время для выполнения задания
Решение: t= V: A= 120:2=6 час
Задача3. Оператору компьютерного набора необходимо набрать
100 страниц, она это может выполнить за 3 рабочих дня
(8ч работы в день). Какова скорость набора оператора?
В задаче известен объем задания V=120 стр. и время на выполнение задания t=3*8=24ч. Необходимо найти производительность.
Решение: A= V: t=5 стр./ч
Задача4. Бассейн имеет объем 300л, из крана за час выливается 10л воды. Сколько времени нужно для заполнения ванны водой?
В задаче известен V=300л и производительность
крана A=20л/час, необходимо узнать время для
выполнения задания. Решение: t= V: A= 300:20=15 час.

Особый интерес представляют собой задачи на совместную работу, когда объекты действуют вместе. Например одно задание выполняют две машинистки, работают две бригады, два трактора вспахивают поле, два крана наполняют бассейн.
В этом случае их производительность складывается.
Например: Две тракторные бригады вспахали вместе 762 га. Первая бригада работала 8 дней и вспахивала за день 48 га. Сколько гектаров вспахивала за день вторая бригада, если она работала 9 дней?
762 га – это весь объем совместной работы(V=762). Первая бригада работала 8 дней (t1=8) с производительностью A1=48 га/сутки. Вторая бригада работала 9 дней (t2=9), необходимо узнать ее производительность.
1 бригада за 8 дней выполнила
V=A*t=48*8=384 (га).
Тогда 2 бригада вспахала
оставшиеся 762-384=378 (га).
Учитывая, что 2-я бригада
работала 9 дней, тогда ее
производительность
A=V:t=378:9=42 (га/день).
Можно решить эту задачу с помощью уравнения.
Пусть производительность второй бригады равна х, тогда за 9 дней она вспахала 9х га. Вместе две бригады вспахали 48*8+9х=762 (га).
Решим уравнение: 48*8+9х=762;
384+9х=762;
9х=378;
х=42 (га).

За смену тракторист вспахивал 7,5 га. Сколько вспашет тракторист за 4 смены?
Машинистке необходимо напечатать 120 страниц текста. Сколько ей понадобиться времени, если в час она печатает 5 страниц?
Сколько времени понадобиться для печати такого же объема текста( задача 2), если машинистке будет помогать еще одна машинистка, которая печатает в час 6 страниц?
Бассейн заполняется водой. Сначала включили на 2ч одну трубу, из которой в час вытекает 100л воды, а затем включили другую, из которой в час вытекает 120л воды, две трубы были включены еще 4ч.
Какой объем воды был наполнен?
Задачи на нахождение работы.
Задачи
30га
10га
58га
1с
15ч
22ч
10,9ч
6ч
30ч
680л
100л
350л

Задачи на нахождение части и целого
В задачах присутствуют понятия: все число – то число, которое делилось, часть – дробная величина числа, которая показывает какую часть числа взяли, и число характеризующее часть.
Например: Расстояние между городами 25 км, машина проехала
всего расстояния.
По условию задачи можно узнать,
сколько проехала машина
25:5*2=10 (км). В этой задаче число – 25, его часть – 10, а сама часть составляет .
Задачи делятся на три типа: нахождение части от числа, числа по части и самой части.
А
В

1. Нахождение части от числа.
В этих задачах известно все число и дробная часть от него, необходимо узнать, какое число характеризует эту часть. Для этого:
1. число делят на знаменатель дроби (находят одну часть).
2. полученное число умножают на числитель (находят всю часть).
Если дробь представлена в виде десятичной дроби, то для нахождения части от числа нужно число умножить на дробь.
Например: Расстояние между городами 25 км, машина проехала всего расстояния. В этой задаче число – 25,
часть от числа составляет .
Необходимо найти эту часть.
Решение: Найдем от числа 25:5=5, возьмем 2 части 5*2=10, значит от 25 составляет 10 км.
Если в условии задачи дробь заменить десятичной дробью 0,4, задача решается так: 25*0,4=10.

2. Нахождение числа по его части.
В этих задачах известна часть и ее дробь, необходимо узнать число. Для этого:
1.часть делят на числитель дроби (находят одну часть).
2. полученное число умножают на знаменатель (находят все число).
Если дробь представлена в виде десятичной
дроби, то для нахождения числа по части
нужно число разделить на дробь.
Например: Машина проехала всего расстояния между городами, что составляет 10км. Какое расстояние между городами?
В этой задаче часть – 10, а ее дробь . Необходимо найти число.
Решение: если составляет 10, найдем - 10:2=5, все число состоит из 5-ти таких частей, тогда 5*5=25.
Если в условии задачи часть заменить десятичной
дробью =0,4, задача решается так: 10:0,4=25.
Известна часть
Она составляет
10 км
Найти все число
? км

3. Нахождение дробного представления части
В этих задачах известно число и его часть, необходимо определить какую дробь составляет часть от числа. Для этого: часть делят на число
Например: Машина проехала 10 км из 25км необходимых. Какую часть пути она преодолела?
Решение: Разделим 10 на 25, получим 10:25=0,4 или .

Нахождение части по числу .
Задачи.
Как найти часть по известному числу?
2. Найдите
от числа 210 0,4 от числа 40
от числа 500 1,5 от числа 15
3. Масса изюма составляет 0,24 массы винограда. Сколько получиться изюма из 75 ц винограда?
4. Воробей может продержаться в воздухе ч. Сколько минут может продержаться воробей в воздухе?
5. массы растения составляет вода, остальная часть - сухое вещество. Сколько сухого вещества содержится в 20т травы?
число умножить на дробь
Число разделить на дробь
140
32
15
16
0,4
32
22,5
2
12
300
82
325,4
18
4
36
4
15
47
4
46
25

Нахождение числа по части .
Задачи.
Как найти число по части и ее дробному представлению.
2. Найдите число, если
от числа = 40 от числа = 125
0,75 от числа = 60 2,45 от числа = 1245
3. Какова длина струн рояля, если 75м составляет их общей длины?
4. Масса изюма составляет 0,24 массы винограда. Сколько надо взять винограда, чтобы получить 24 ц изюма?
часть разделить на дробь
Часть умножить на дробь
нет
да
нет
да
нет
да
нет
да
нет
нет
да
нет
нет

Нахождение дробной части числа .
Задачи.
Найдите какую часть составляет
25 от 125 10 от 100
78 от 234 100 от 10
2. В 100 г. Сливочного мороженого содержится 75 г. Воды, 10 г молочного жира, а остальное - сахар.
Какую часть сливочного мороженого составляет вода?
Какую часть сливочного мороженого составляет жир?
Какую часть сливочного мороженого составляет сахар?
3. Вася составил план размещения овощей на участке следующим образом: участка - морковь; - редис; - свекла; - укроп; - картофель. Удастся ли осуществить этот план?
да
нет
нет
да
нет
нет
да
нет
нет
да
нет
нет
да
нет
нет
да
нет
нет
да
нет
нет
Да, возможно
Нет, не возможно

Да, ваш ответ верен

Нет, ваш ответ не верен

Рассматривают три типа задач.
1.Известно число, необходимо определить часть числа по его проценту.
Например:
В магазин завезли 320кг
конфет, из которых 75% -
шоколадных.
Сколько килограмм составляют
шоколадные конфеты?
Решение:
Так как 320 кг конфет – это 100%, то, чтобы найти 1% нужно 320 разделить на 100, получим 3,2 кг. Чтобы найти, чему равны 75% конфет нужно умножить 3,2 на 75. 75*3,2=240.
Так, 240 кг составляют шоколадные конфеты.
В результате рассуждений мы заданное число (320) умножили на проценты (75) и результат разделили на 100.
(320:100*75=240.)
Известно: число и процент части
Найти: часть.
Алгоритм решения:
число разделить на 100
Результат умножить на процент
Задачи на проценты

2. Известна часть числа и ее процент, необходимо определить само число.
Например:
За контрольную по
математике 12 учеников
получили оценку
«высокого уровня»,
что составляет 30%.
Сколько учеников в классе?
Решение:
Узнаем чему равен 1%. Для этого 12 разделим на 30. 12:30=0,4. Значит 1% равен 0,4. Все ученики класса составляют 100%. Умножим 0,4*100=40. В классе 40 учеников.
В результате рассуждений мы часть числа (12) разделили на его проценты (30) и результат умножили на 100. (12:30*100=40.)
Известно: часть числа и ее процент.
Найти: само число.
Алгоритм решения:
Часть числа разделить на его процент
Результат умножить на 100

3. Известно число и часть числа. Необходимо узнать какой процент составляет эта часть от числа.
Например:
Вся площадь поля составляет
1800га, картофелем засажено
558га.
Какой процент поля засажен?
Решение:
Определим какую часть от общего поля составляет засаженная площадь картофеля, для этого 558 разделим на 1800. 558:1800=0,31. Значит, картофелем засажена 31 сотая часть поля, т.е. 1%. Умножим 0,31 на 100%. 0,31*100=31%.
В результате рассуждений мы часть числа (558) разделили на все число (1800) и результат умножили на 100. (558:1800*100=31.)
Известно: число и его часть.
Найти: какой процент составляет часть от числа.
Алгоритм решения:
Часть числа разделить на само число
Результат умножить на 100

Проценты.
Нахождение части числа по его проценту.
Задачи.
1. Найдите
2% от числа 210 125% от числа 40
15% от числа 500 0,5% от числа 15
2. Масса Земли 5975 квинтиллионов тонн. Масса воды составляет 9%. Какова масса воды земли?
3. Яблоки при сушке теряют 84% своей массы. Сколько получится сушеных яблок из 300 кг свежих?
4. В классе 30 учеников, из них 20% учатся в музыкальной школе, 50% посещают спортивные секции, а остальные посещают кружки иностранных языков. Сколько учащихся посещают кружки иностранных языков?
0,42
42
7,5
0,75
7,5
0,75
5377,5 кв.т
53,775 кв.т
480
18,75
6
10
н
н
0,5
5
50
0,075
75
4,2
537,75 кв.т
48
9

Проценты.
Нахождение числа по его части и проценту
Задачи.
Найдите число, если:
5% его равны 30 8% его равны 40
10% его равны 90 125% его равны 250
2. Из зеленого чайного листа получают 4% чая. Сколько надо чайного листа, чтобы получить 5,6 кг чая?
3. Ромашка при сушке теряет 84% свей массы. Сколько надо взять свежей ромашки чтобы получилось 32 кг сухой?
4. Ученик в первый день прочитал 15% всей книги, что составляет 60 станиц, во второй день он прочитал 200 страниц. Сколько ему осталось прочитать?
1,5
60
9
90
3,5
50
14
0,224
5,12
38,09
10
30
312,5
20
900
600
200
500
140
200
200

Проценты.
Нахождение процента по числу и части.
Задачи.
Сколько процентов составляет:
28 от 40 63 от 75
102 от 425 500 от 250
2. Если в стакан чая (200г) положить 2 чайные ложки сахара (по 10г), то какова будет концентрация сахара в чае?
3. Поверхность Земли 510,1 млн км2. Суша занимает 149,2 млн км2, остальная поверхность покрыта водой. Сколько процентов поверхности Земли покрыто водой?
4. Стоимость товара понизилась от 400 грн до 360 грн. На сколько процентов снизилась стоимость товара?
7%
700%
240%
2,4%
50%
5%
1%
0,1%
20%
7%
111%
90%
8,4%
840%
70%
24%
84%
200%
10%
70%
10%

Задачи с геометрическим смыслом
Текстовые задачи на нахождение периметра или площади фигур относятся к геометрическим. Для решения таких задач необходимо знать соответствующие формулы.
1. периметр любого многоугольника равен сумме длин его сторон: Р=а+в+с ( для треугольника). Периметр измеряется в см, м, дм, км и т.д.
2. Для нахождения площади фигуры используют
формулы
площадь треугольника: S= а*h:2,
где h – высота треугольника, опущенная к стороне;
площадь прямоугольника: S=а*в;
площадь квадрата: S=а*а=а2.
Для нахождения площади более сложной фигуры ее разбивают на простые.
Площади измеряются в квадратных единицах.
3. Объемы фигур находят по формулам, так формула объема прямоугольного параллелепипеда: V=а*в*с,
объем куба равен: V=а3.
В
А
С
Д
Д
С
В
А

Задача1 : Длина прямоугольника 8 см, а ширина 3 см. Чему равна 1/6 площади прямоугольника?
Решение:
Найдем площадь прямоугольника S=8*3=24 (см2),
его 1/6 часть равна 24:6=4 (см2).
Задача2. Необходимо покрасить лист фанеры по заданной фигуре, если расход краски составляет 100г на 1 м2
Решение:
Фигура получена вырезанием у прямоугольника четырех равных квадратов, таким образом площадь фигуры равна:
S=Sпрям-4*Sквадр.
S=Sпрям=5*3=15 м2; Sквадр=0,52=0,25;
S=15-4*0,25=15-1=14 м2.
Краски потребуется 14*100=1400 (г)=1 кг 400г.
3 м