Матричные преобразования трехмерного пространства

Проекции
преобразуют точки из координатной системы размерности n в точки координатной системы размерности меньше n.

Проекции
строятся с помощью прямых линий –
проекторов (лучи проекции), пересекающих поверхность проекции;
оперируют с плоскими проекциями, т.е. поверхность проекции – плоскость (2D-проекции);
используют геометрические проекции, т.е. проекторы - прямые лучи.
Исключение – Image-based rendering.
Под проекциями будем подразумевать геометрические плоские проекции.

Классификация проекций
ПРОЕКЦИИ
одноточечные
двухточечные
трёхточечные
Параллельные проекции
Ортогональные
Аксонометрические
изометрия
диметрия
триметрия
Косоугольные
изометрия
диметрия
Planar Geometric Projections
Parallel
Perspective
Центральные проекции
3 point
2 point
1 point
Oblique
Cabinet
Cavalier
Axonometric
Top
Side
Front
Isometric
вид сверху
вид слева
фронтальный
Orthographic

Центральные проекции

Центральные проекции
Определяются плоскостью проекции и центром проекции.
Визуальный эффект – перспективное искажение (перспектива).
Размер проекций объектов сцены обратно пропорционален расстоянию между объектом и центром проекции.
Изображение реалистично.
Центральная проекция не используется для измерений:
параллельные линии не параллельны в проекции;
углы сохраняются на плоскостях, параллельных плоскости проекции;
расстояния не сохраняются.

Перспектива (Perspective)
Первое изображение
с перспективой –
"Троица" Мазаччо, 1427г.

Центральные проекции
Центральные проекции любой совокупности параллельных прямых, не параллельные проекционной плоскости, будут сходиться в центре проекции (точке схода, vanishing point).
Центральные проекции классифицируют в зависимости от количества точек схода:
1-точечная проекции,
2-точечная проекции,
3-точечная проекции.
Количество осей,
пересекающих проекцию,
соответствует количеству
центров проекции.
Линии параллельны главной
оси.
Центр
проекции

1-точечная проекция
Плоскость проекции пересекается только с одной осью.
Точка схода в однородных координатах имеет w = 0 (x,y,0).
Площадь святого Марка (Венеция), Canaletto 1735

2-х точечная проекция
Edward Hopper The Mansard Roof 1923 г.

3-х точечная проекция
Georgia O'Keefe «City Night»,1926 г.

Центральные проекции
3-х точечная
2-х точечная
1- точечная

Параллельные проекции

Ортогональные проекции
Строится параллельным проецированием на плоскость отображения.
Проецирующие лучи перпендикулярны к плоскости проекций.
Обычно плоскость отображения двигается по одной из осей.
Направление обзора
Пример

Множественные проекции (Multiple Projections)
Ортогональные проекции часто используются для построения множественных проекций объекта:
вид сверху или план (plan (top) view),
фронтальный вид (front view),
вид слева (left or right side).
Front
Right
Top
Ортогональные проекции

Проекционные плоскости не перпендикулярны осям координат.
Одновременно видны несколько поверхностей объекта.
Используется для измерений:
углы изменяются;
сохраняется параллельность прямых.
Расстояния можно измерить вдоль каждой из координатных осей (с учётом масштабирующих коэффициентов).
Направление обзора
Аксонометрические проекции
Ортогональные проекции

Основная теорема аксонометрии:
теорема Польке: «три отрезка произвольной длины, лежащие в 1-й плоскости и выходящие из одной точки под произвольными
углами друг к
другу, представляют
собой параллельную
проекцию трех равных
отрезков, отложенных
на координатных осях
от начала координат».
Ортогональные проекции
Аксонометрические проекции

Согласно этой теореме:
любые три прямые в плоскости, исходящие из одной точки и не совпадающие между собой, можно принять за аксонометрические оси;
любые отрезки произвольной длины на этих прямых, отложенные от точки их пересечения, можно принять за аксонометрические масштабы.
Эта система аксонометрических осей и масштабов является параллельной
проекцией некоторой
прямоугольной системы
координатных осей и натуральных
масштабов.
Ортогональные проекции
Аксонометрические проекции

Отношение единичных отрезков на аксонометрических осях к единичным отрезкам на координатных осях называется коэффициентом искажения (коэффициентом масштабирования) по аксонометрическим осям.
Коэффициенты искажения:
Кх = Lx0 /Lx = p,
Кy = Ly0 /Ly = q,
Кz = Lz0 /Lz = r.
Существует много вариантов
аксонометрических проекций, отличающихся направлениями аксонометрических осей и величин искажения по данным осям.
Ортогональные проекции
Аксонометрические проекции

Если коэф. искажения по всем трём осям не равны
p≠q≠r, то проекция называется триметрической.
Если коэф. искажения по двум осям равны
p=r, q=1/2p, то проекция называется диметрической.
Если коэф. искажения по всем 3 осям равны
p=q=r , то проекция является изометрической.
В практике построения аксонометрических изображений применяют определенные комбинации направлений аксонометрических осей и аксонометрических масштабов: прямоугольная изометрия, прямоугольная диметрия.
Проекция является изометрической, если плоскость проекции пересекает оси на одинаковом расстоянии от центра координат.
Ортогональные проекции
Аксонометрические проекции

p≠q ≠ r ,
триметрическая проекция
p=r, q=1/2p,
диметрическая проекция
p=q=r , изометрическая проекция
Ортогональные проекции
Аксонометрические проекции

Изометрическая прямоугольная проекция
Наиболее распространенный случай аксонометрических проекций.
Нормаль плоскости проекции образует равные углы с каждой из координатных осей – описывается вектором (dx,dy,dz), где |dx| = |dy|=|dz|
Коэффициенты масштабирования по осям одинаковы: p=q=r.
Измерения можно проводить по всем осям с одинаковым коэффициентом (изометрия).
Существует 8 направлений, удовлетворяющих данным условиям.
Ортогональные проекции
Аксонометрические проекции

Коэффициенты искажения:
По теореме синусов:
sin2 α +sin2 β +sin2 γ =1
sin2 α =1-cos2 α
1-cos2α+1-cos2β+1-cos2 γ =1,
откуда
cos2 α +cos2 β +cos2 γ =2
Изометрическая прямоугольная проекция
p2 + q2 + r2 =2
Ортогональные проекции
Аксонометрические проекции

p2+q2+r2=2 – для прямоугольной аксонометрии
сумма квадратов коэффициентов искажения = 2.
Установим численные значения коэффициентов искажения для прямоугольной изометрии: p=q=r; 3p2=2; p=q=r=0.82
Изометрическая прямоугольная проекция
Для простоты ГОСТ 2317-69
предлагает использовать
коэффициенты искажения: p=r=q=1.
Получается проекция, увеличенная в 1.22 раза.
Ортогональные проекции
Аксонометрические проекции

Треугольник следов – равносторонний.
Угол между высотами в равностороннем треугольнике = 120°.
Ось z располагается вертикально.
Изометрическая прямоугольная проекция
Ортогональные проекции
Аксонометрические проекции

Треугольник следов – равнобедренный.
Приближённо аксонометрические
оси диметрической
проекции можно
построить, если принять tg 7°10'=1/8, а tg 41°25'=7/8.
Для изометрии p2 + q2 + r2 =2.
Значения коэффициентов искажения для диметрии: p=r=2q; 2p2+p2/4=2; p=r=0.94; q=0.47
Диметрическая прямоугольная проекция
Оси координат прямоугольной диметрической проекции.
Ортогональные проекции
Аксонометрические проекции

На практике используют приведённые коэффициенты искажения
p=r=1; q=0,5.
Тогда
получается
проекция,
увеличенная в 1,06 раза.
Диметрическая прямоугольная проекция
Ортогональные проекции
Аксонометрические проекции

Косоугольные проекции
Нормаль плоскости
параллельна оси X
Лучи составляют с плоскостью проекции угол до 90°.

Косоугольные проекции
Нормаль плоскости проекции не совпадает с направлением проецирующих лучей.
Плоскость проекции перпендикулярна одной из осей координат.
Результат проецирования фронтальной плоскости объекта позволяет проводить измерения углов и расстояний без искажений.
По проекциям других плоскостей можно измерять расстояния (с учётом коэффициента искажения, если он есть), но не углов!

Косоугольная фронтальная диметрия (Cabinet)
p = r = 1.0; q = 0.5;
β = γ =135 ; α =90

Косоугольная горизонтальная изометрия (Cavalier)
p = r = q = 1.0;
= γ =120 ; α =90

Проекции в однородных координатах

Аксонометрические проекции могут реализовываться с помощью 2-х поворотов объекта и ортогонального проецирования (переноса) на плоскость, что аналогично повороту в пространстве относительно произвольной оси:
а) поворот относительно одной оси,
б) поворот относительно другой оси
в) параллельная (ортогональная) проекция вдоль третьей оси.
Аксонометрические проекции

Аксонометрические проекции

Единичный вектор OX: [1001], если его повернуть:
Единичный вектор OY: [0101], если его повернуть:
Координаты вектора единичной нормали являются ее направляющими косинусами.
Длины проекции вектора на плоскость:
Проецируем на плоскость XY.
Для совмещения произвольной оси вращения с осью z выполним поворот вокруг оси x и вокруг оси y – перемножение матриц:
Аксонометрические проекции
Плоскость задается единичным вектором нормали N.

Для изометрии справедливо p=r=q, 3p2=2.
Тогда:
Для диметрии справедливо: p=r=2q; 2p2 + p2/4 = 2.
Тогда
Аксонометрические проекции

Точка P=(0,0,1) проецируется в точку P’.
Плоскость проекции совпадает с XOY.
Направление проецирования задаётся: (Lcosα, Lsinα,-1),L=1/tan(β);
β – угол между нормалью плоскости проекции и направлением лучей;
α - определяет горизонтальный угол.
Косоугольные проекции
β
Матрица косоугольного проецирования
(в формате вектора-столбца)
P=(0,0,1) проецируется в P’=(lcosα, lsinα, 0),
а произвольная точка P(x,y,z) – в P’(xp,yp,0), где

Матрица косоугольной проекции для случая проецирования в плоскость Z = 0, выполняет:
плоскости с заданной координатой Z0 переносятся вдоль оси X на Z0·L·cosα и вдоль оси Y на Z0·L·sinα;
производится проецирование в плоскость Z = 0.
Варианты параллельных проекций формируются из полученной подстановкой значений L и углов α и β. Для фронтальной косоугольной диметрии L = ½, угол β = 63.4°, угол α = 45° (можно 30° и 60°).
Косоугольные проекции

Более сложные!
Для построения учитываются:
ракурс;
перспективы;
объём видимости (в виде
усечённой пирамиды) или
угол обзора (по 2 координатам).
Центральные проекции
Параметры:
центр проекции (centre of projection - COP);
углы обзора (q, f);
направление проецирования (нормаль к плоскости проекции);
вертикаль, параллельная плоскости проекции (up direction).

Если поместить центр проекции в центр координат и
направление взгляда ориентировать по положительному направлению оси –z, плоскость проекции разместить на оси z в точке с координатой z = -d, то:
y
yp
-z
d
Аналогичное выражение имеет место и для xp, соответственно ⇒
Центральные проекции
yр
d

Отражение оси z для перехода в левую систему координат ⇒ увеличение z подразумевает увеличение расстояния до наблюдателя.
Центральные проекции

В зависимости от приложений могут использоваться различные механизмы для задания перспективных искажений:
углы обзора (field of view) могут быть получены из расстояния до плоскости проекции;
направление обзора может быть получено, если точка сцены задаётся как точка наблюдения.
OpenGL предлагает несколько различных методов для задания перспективных проекций:
gluLookAt,
glFrustrum,
gluPerspective.
Центральные проекции

glFrustrum(xmin, xmax, ymin, ymax, zmin, zmax);
Центральные проекции

glFrustrum
Все точки на линии задаваемой COP и координатами(xmin,ymin,-zmin)будут спроецированы в нижнюю левую точку устройства вывода.
Все точки на линии COP (центр проекции) и (xmax,ymax,-zmin)будут соответствовать верхнему правому углу устройства вывода.
Направление наблюдения (viewing direction) всегда соотвествует полуоси -z.
Отпадает необходимость строить симметричную пирамиду (раструб камеры):
zmin и zmax определяются как положительные расстояния вдоль полуоси -z.
glFrustrum(-1.0,1.0,-1.0,1.0,5.0, 50.0);

gluPerspective(fov, aspect, near, far);
Центральные проекции

gluPerspective
Предназначение функции упростить определение перспективных проекций.
Позволяет создавать симметричные раструбы камеры (symmetric frustrums).
Точка наблюдения – в начале координат направление взгляда – вдоль -z полуоси.
Угол обзора (field of view), fov, должен быть в пределах [0..180].
apect позволяет создавать объём видимости (view frustrum), который подгоняется под соотношение сторон (aspect ratio) устройства вывода, чтобы ликвидировать искажения.

gluPerspective