Механические Колебания и волны

Колебания и волны
Волна
процесс распространения колебаний в среде
явление распространения возмущения физической величины в пространстве с течением времени
Колебание
процесс изменения состояний системы,
повторяющийся в той или иной степени во времени
Колебательные явления
различной физической природы подчиняются общим закономерностям
описываются одинаковыми уравнениям
Механические колебания
движения тел, повторяющиеся точно (или приблизительно) через одинаковые промежутки времени
Закон движения тела,
совершающего колебания
x = f(t)
некоторая периодическая функция времени
Графическое изображение этой функции
наглядное представление о протекании колебательного процесса во времени

Механические колебательные системы
Примеры простых механических колебательных систем
Пружинный
маятник –
груз на пружине
Математический маятник – груз на нерастяжимой нити
Крутильный маятник
Физический маятник

Типология колебания
Электромагнитные
Автоколебания
Свободные
Физическая природа колебаний
Механические
…
Вынужденные
Затухающие
Гармонические
внутренних сил системы, после того,
как она была выведена из состояния равновесия
происходят под действием
по закону sin (cos)
Незатухающие
внешних периодически изменяющихся сил
колебательная система
источник энергии
устройство обратной связи между колебательной системой и источником
упругие
(например, звуковые)
поверхностные
(под действием Fтяж и поверхностного натяжения)

Гармонические колебания
Колебания, совершающиеся по закону sin или cos
смещение тела
от положения равновесия в момент времени t
амплитуда колебаний (max смещение тела от положения равновесия)
циклическая (круговая) частота колебаний
время
фаза колебаний φ=ωt+φ0
начальная
фаза колебаний (при t=0)
Рассмотрение гармонических колебаний важно т.к.:
колебания, встречающиеся в природе и технике,
часто имеют характер, близкий к гармоническому
различные периодические процессы можно представить как наложение гармонических колебаний

Характеристики колебательного движения
Смещение тела от положения равновесия
Амплитуда колебаний
Циклическая (круговая) частота колебаний
Время колебаний
Фаза колебаний
Начальная фаза колебаний (при t=0)
Период колебаний
время, в течение которого
происходит одно полное колебание
максимальное смещение тела
от положения равновесия
Частота колебаний
количество колебаний
в единицу времени
[Т]=с
фаза колебания получает приращение 2π
[ν]=с-1=Гц

График гармонического колебания
Стробоскопическое изображение гармонических колебаний
амплитудой
φ0 = 0
Графики отличаются:
периодом
начальной фазой
Вектор скорости направлен всегда вдоль ОХ
Интервал времени между последовательными положениями тела τ= T / 12

Графики гармонического колебания
Графики
ускорения a(t)
координаты x(t)
скорости υ(t)
для тела, совершающего гармонические колебания
a(t)= υ’(t)= x’’(t)
υ(t)= x’(t)
Знак «-»:
сила, заставляющая тело совершать гармонические колебания, направлена всегда в сторону положения равновесия
ускорение
всегда имеет знак, ↑↓ знаку смещения x(t)

Метод векторных диаграмм
или
Метод вращающегося
вектора амплитуды
Из произвольной т. О,
выбранной на оси х,
под углом ϕ, = начальной фазе колебания, откладывается вектор А
Если вектор А привести во вращение с угловой скоростью ω
(= циклической частоте колебаний),
то проекция конца вектора А будет перемещаться по оси х
и принимать значения от –А до +А,
а колеблющаяся величина будет изменяться
со временем по закону s=A cos (ωt+ϕ)
гармоническое колебание можно представить проекцией на некоторую произвольно выбранную ось вектора амплитуды А, отложенного из произвольной точки оси под углом ϕ, равным начальной фазе, и вращающегося с угловой скоростью ω вокруг этой точки

Свободные колебания
Чтобы свободные колебания совершались
по гармоническому закону, необходима
стремящаяся возвратить тело
в положение равновесия
пропорциональная смещению тела
из положения равновесия колебаний
направленная в сторону, ↑↓ смещению
сила
F
Таким свойством обладает упругая сила
в пределах применимости закона Гука
Силы любой другой физической природы, удовлетворяющие этому условию
Квазиупругие

Энергия колебаний
Кинетическая энергия
Материальная точка, совершающая прямолинейные гармонические колебания, обладает энергией
Потенциальная энергия
Полная энергия
Закон сохранения энергии

Гармонический осциллятор
Система, совершающая колебания, описывающиеся уравнением вида
ω0 – собственная
частота колебаний
Гармонический осциллятор
Колебания гармонического осциллятора –
важный пример периодического движения
служат точной или приближенной моделью
во многих задачах классической и квантовой физики
Примеры гармонического осциллятора:
пружинный маятник
физический маятник
математический маятник
колебательный контур
...

Пружинный маятник
Груз массой m, прикрепленный
к пружине жесткости k
Период гармонических колебаний груза на пружине
При горизонтальном расположении
(груз скользит по поверхности)
При вертикальном расположении
(груз висит на пружине)
Под действием какой силы происходят колебания?
Круговая частота ω0
масса пружины мала по сравнению с массой тела
Границы применимости:
Потенциальная энергия
Колебания происходят
под действием упругой силы
Fтяж компенсируется
силой реакции опоры
Fтяж направлена
по линии движения груза
В положении равновесия
пружина растянута на х0

Физический маятник
Твердое тело, совершающее под действием Fтяж колебания
вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через т.О,
НЕ совпадающую с центром масс С тела
по уравнению динамики
вращательного движения твердого тела:
М – момент возвращающей силы
J – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса
Знак «-»:
Для малых углов
возвращающая сила
решение:
?
направления Fτ и α
всегда ↑↓

Физический маятник
приведенная длина физического маятника
т.О' на продолжении прямой ОС, отстоящая от т. О подвеса маятника
на расстоянии приведенной длины L
Круговая частота ω0
Период колебаний Т
Центр качаний физического маятника
по теореме Штейнера:
точка подвеса О и центр качаний О’ взаимозаменяемы:
всегда
если точку подвеса перенести в центр качаний, то прежняя точка О подвеса
станет новым центром качаний, и Т=const
точка подвеса
центр качания

Математический маятник
для проекций векторов a и F
на направление касательной
математический маятник представляет собой сложную нелинейную систему
Материальная точка, подвешенная
на нерастяжимой невесомой нити, колеблющаяся под действием Fтяж
Идеализированная система
!
Момент инерции
В положении равновесия
(маятник висит по отвесу), сила тяжести
уравновешивается силой
натяжения нити
При отклонении маятника из положения равновесия на φ появляется касательная составляющая Fm
Знак «-»:
Угловое смещение маятника
Линейное смещение маятника
По II з-ну Ньютона:
касательная составляющая
↑↓ отклонению маятника

Математический маятник
для малых колебаний
II з-н Ньютона
Круговая частота ω0
Период колебаний Т
Колебания математического маятника
при больших амплитудах
НЕ являются гармоническими
!

Волны
Волна
процесс распространение колебаний в среде
всякие возмущения состояния вещества или поля, распространяющиеся в пространстве
с течением времени
Основное свойство волны:
перенос энергии
без переноса вещества
Поперечные волны
Продольные
смещение частиц среды –
ПО НАПРАВЛЕНИЮ распространения волны
смещение частиц среды –ПЕРПЕНДИКУЛЯРНО распространению волны
Механические
распространяются в средах – Т, Ж, Г
сопровождается
изменением плотности
Электромагнитные
распространяются в средах –
Т, Ж, Г + В

Волны в среде
Волновая поверхность
геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе
Волновой фронт (фронт волны)
геометрическое место точек, до которых доходят колебания к данному моменту времени
Луч
линия, ⊥ волновой поверхности.
Показывает направление распространения волны (переноса энергии
По виду волновой поверхности волны бывают
сферические
плоские
источник БЛИЗКО
источник ДАЛЕКО

Стоячая волна
характерное расположение чередующихся max (пучностей)
и min (узлов) амплитуды
возникает при отражениях
от преград и неоднородностей
в результате наложения
отражённой волны на падающую
важное значение в месте отражения имеют частота, фаза
и коэффициент затухания волны
узел
пучность