Модули

Определения
Модуль числа а – расстояние от точки с координатой а до ноля
следствия
1. модуль числа неотрицателен (|a|≥0)
|a|=
a, если а>0
-a, если а<0
0, если а = 0

Способы решения уравнений с модулями:
1. По определению модуля
2. Раскрытие модуля на промежутке знакопостоянства
6. Важный частный случай

1. По определению модуля
|ƒ(x)| = a (а≥0)
Пример : |3x - 8| = 5
Решение:
3x - 8 = 5 или 3x - 8 = -5;
3x = 13, 3x = 3;
x = 13/3, x = 1.
Ответ: 13/3; 1.
f(x) = a или f(x) = - a

1) |2x - 3| = 5
решение
Решить по определению модуля

Решение
2x - 3 = 5 или 2x - 3 = -5
2x = 8 2x = -2
x = 4 x = -1
Ответ: -1;4
|2x - 3| = 5
По определению модуля № 1

4.Раскрытие модуля на промежутке знакопостоянства
Универсальный способ
Решение:
Найдем нули подмодульных выражений: 0; -1
-1 0
X
X+1
- - +
- + +
Ответ: [-1;0].
Пример: |x| + |x+1|=1

1) |5 - x| + |x - 1| = 10
решение
3) |x - 1| + |2x - 3| = 2
решение
2) |x - 3| + 2|x + 1| = 4
решение
Раскрытие модуля на промежутке знакопостоянства
Решить, используя раскрытие модуля на промежутках знакопостоянства

+ 1 + 5 -
x - 1
5 - x
- + +
|5 - x| + |x - 1| = 10
Если x ≤ 1, то
5 - x –x + 1 = 10
- 2x + 6 = 10
- 2x = 10 – 6
-2x= 4
x = -2
Если 1< x < 5, то
5 - x + x - 1 = 10
0x + 4 = 10
0x = 10 – 4
0x= 6
нет решений
Если x ≥ 5, то
-5 + x +x - 1 = 10
2x - 6 = 10
2x = 10 + 6
2x= 16
x = 8
Ответ: - 2 ; 8
Раскрытие модуля на промежутке знакопостоянства
Раскрытие модуля на промежутках знакопостоянства № 1

- -1 - 3 +
x + 1
x - 3
- + +
|x - 3| + 2|x + 1| = 4
Если x ≤ -1, то
3 - x - 2x -2 = 4
- 3x + 1 = 4
- 3x = 4 – 1
-3x= 3
x = - 1
Если -1< x ≤ 3, то
3 – x + 2x + 2 = 4
x + 5 = 4
x = 4 – 5
x= -1
нет решений
Если x>3, то
x - 3 +2x + 2 = 4
3x - 1 = 4
3x = 4+1
3x= 5
x = 5/3
нет решений
Ответ: - 1
Раскрытие модуля на промежутках знакопостоянства № 2

- 1 - 1,5 +
x - 1
2x - 3
- + +
|x - 1| + |2x - 3| = 2
1. Если x ≤ 1, то
1 - x - 2x + 3 = 2
- 3x + 4 = 2
- 3x = 2 – 4
-3x= - 2
x = 2/3
2. Если 1< x ≤ 1,5 , то
x - 1 + 3 – 2x = 2
- x + 2 = 2
- x = 2 – 2
x= 0
нет решений
3. Если x> 1,5, то
x - 1 + 2x - 3 = 2
3x - 4 = 2
3x = 2 + 4
3x= 6
x = 2
Ответ: 2/3; 2
Раскрытие модуля на промежутках знакопостоянства № 3

6. Важный частный случай
| f (x) | = - f(x), тогда f(x) ≤ 0
Пример: 7-4x= |4x-7|
Решение: т.к. |f (x)| = -f(x), то f(x)≤0
4x- 7 ≤ 0
x ≤ 7/4 , 7/4 = 1,75