Начертательная геометрия

Пересечение поверхности плоскостью общего положения

Линия пересечения поверхности с плоскостью является линией, одновременно принадлежащей поверхности и секущей плоскостью. Поэтому необходимо построить точки и линии, которые одновременно принадлежат поверхности и плоскости.
Замкнутая фигура, образованная линией пересечения поверхности тела секущей плоскостью, которая называется сечением.

Линия пересечения строится с использованием метода секущих плоскостей – посредников или способом перемены плоскостей проекций.
Способ перемены плоскостей проекций используется для преобразования плоскости общего положения в плоскость частного положения. В некоторых случаях это облегчает решение задачи.

Пересечение многогранников плоскостью общего положения.

При сечении многогранника плоскостью образуется ломанная линия.
Проекциями сечения многогранников, в общем случаи являются многоугольники, вершины которых принадлежат ребрам, а стороны – граням многогранника.

Задача 1
Пирамида Φ{SABC} и плоскость α(h,f)
m=Ф∩α; m{M,N,K} - ?
Ребро SB – профильная прямая.

Введем плоскость П4
П4 ⊥ П1
П4 ⊥ α
{

Построим пирамиду Φ{SABC} на плоскости П4.
Ребро SВ – прямая общего положения.

m=Ф∩α;
α ⊥П4 ⇒ α 4≡ m4
m{M,N,K}
K = AS ∩ α;
M = CS ∩ α;
N = BS ∩ α
m4

Проецируем точки пересечения
K = AS ∩ α;
M = CS ∩ α;
N = BS ∩ α
на П1 и П2
m4

m1{M1,N1,K1}
m1
m4

m2{M2,N2,K2}
m4
m1
m2

Определить видимость сечения
m2
m1
m4

Задача по определению сечения многогранника сводится к многократному решению задач:
Определение точки пересечения прямой (ребер многогранника) с плоскостью.
Нахождение линии пересечения двух плоскостей (грани многогранника и секущей плоскости).

Линия пересечения строится с использованием метода секущих плоскостей – посредников
Задача 2
Пирамида Φ{ТABC} и плоскость δ(h,f)
m=Ф∩δ; m{M,N,L} - ?

Вводим плоскость – посредник α
α ⊥П2, (TA) ⊂ α,
Находим линию пересечения заданной плоскости δ и введенной плоскости α
α ∩δ ≡ (12)
⊂
α

Точка пересечения построенной прямой (12) с ребром (TA) есть первая точка линии пересечения
(12) ∩ (TA) ≡ М
Повторяем алгоритм еще два раза (по количеству ребер многогранника)

4. Вводим плоскость – посредник β
β ⊥П2, (TB) ⊂ β,
5. Находим линию пересечения заданной плоскости δ и введенной плоскости β
β ∩δ ≡ (34)

6. Точка пересечения построенной прямой (34) с ребром (TB) есть точка линии пересечения
(34) ∩ (TB) ≡ N

7. Вводим плоскость – посредник γ
γ ⊥П2, (TC) ⊂ γ,
8. Находим линию пересечения заданной плоскости δ и введенной плоскости γ
γ ∩δ ≡ (56)

9. Точка пересечения построенной прямой (56) с ребром (TС) есть точка линии пересечения
(56) ∩ (TС) ≡ L

10. Строим линию пересечения m≡Ф∩δ; m{M,N,L}

Определяем видимость построенной линии пересечения
m{M,N,L}

Пересечение поверхностей вращения плоскостью общего положения.

Алгоритм решения задач на пересечение поверхности с плоскостью общего положения
Образующую поверхности заключаем во вспомогательную плоскость – посредник γ.
Находим линию пересечения плоскости – посредника γ с заданной плоскостью α: (12)=α ∩ γ.
Отмечают точку, в которой построенная линия пересекается с образующей поверхности : M ≡ (12) ∩ а.
Точка М, являясь общей для данных поверхности и плоскости будут точкой искомой линии пересечения.
Для построения линии пересечения необходимо найти еще ряд точек, используя плоскости – посредника.
Обе проекции искомой линии строятся в плоскостях П1 и П2.

Количество точек, используемых для построения линии пересечения, определяется формой поверхности и точностью построения.
Но из всего множества точек линии пересечения обязательно должны быть построены следующие точки:
Опорные точки – точки расположенные на очерковых образующих поверхности. Эти точки определяют границы видимости проекции кривой.
Точки, определяющие габариты фигуры сечения;
Для уточнения линии пересечения строим промежуточные точки.

Задача 3
Цилиндр Φ и плоскость γ(h,f)
q=Ф∩γ - ?

Образующую поверхности a заключаем во вспомогательную плоскость – посредник α.
α ⊥П1, а ⊂ α,
Находим точки пересечения плоскости – посредника α с заданной плоскостью γ :
1,2=α ∩ γ.

2. Находим линию пересечения плоскости – посредника α с заданной плоскостью γ :
(12)=α ∩ γ.
3. Отмечают точку, в которой построенная линия пересекается с образующей поверхности :
A ≡ (12) ∩ а.

1. β ⊥П1, b ⊂ β,
2. (3)=β ∩ γ.
β ‖ α ⇒ (3) ‖ (12)
3. B ≡ (3) ∩ b.

1. φ ⊥П1, c ⊂ φ,
2. (4)= φ ∩ γ.
φ ‖ α ⇒ (4) ‖ (12)
3. C ≡ (4) ∩ c.

1. δ ⊥П1, d ⊂ δ,
2. (5)= δ ∩ γ.
δ ‖ α ⇒ (5) ‖ (12)
3. D ≡ (5) ∩ d.
Для построения линии пересечения необходимо найти еще ряд точек, используя плоскости – посредника.

1. ω ⊥П1, m ⊂ ω,
2. (6)= ω ∩ γ.
ω ‖ α ⇒ (6) ‖ (12)
3. M ≡ (6) ∩ m.

Точки A, B, C, D, М, являясь общими для данных поверхности и плоскости будут точками искомой линии пересечения.

Определяем видимость сечения.

Плоскость пересекает сферу по окружности, проекции которой в общем случае на ортогональном чертеже изобразится эллипсами.
Точки пересечения плоскости со сферой можно рассматривать как точки пересечения окружностей сферы с плоскостью.

Задача 4
Сфера Φ и плоскость φ(a,b)
m=Ф∩φ - ?

Вводим вспомогательную плоскость – посредник α через экватор.
α ‖ П1
Находим точки пересечения плоскости – посредника α с заданной плоскостью φ(a,b) :
1,2 = α ∩ φ.
Находим точки пересечения плоскости – посредника α со сферой Φ:
A,B = α ∩ Φ.
Определяем опорные точки

Вводим вспомогательную плоскость – посредник β через главный меридиан.
β ‖ П2
Находим точки пересечения плоскости – посредника β с заданной плоскостью φ(a,b) :
3,4 = β ∩ φ.
Находим точки пересечения плоскости – посредника β со сферой Φ:
C,D = β ∩ Φ.

Для уточнения линии пересечения строим промежуточные точки.
Вводим произвольно вспомогательную плоскость – посредник γ.
γ ‖ П1
Находим точки пересечения плоскости – посредника γ с заданной плоскостью φ(a,b) :
5,6 = γ ∩ φ.
Находим окружность пересечения плоскости – посредника γ со сферой Φ - m
m1

Находим точки пересечения построенной окружности сечения сферы и горизонтали сечения плоскости φ: M,N = (56) ∩ m.
m1

n1
Вводим произвольно вспомогательную плоскость – посредник δ.
δ ‖ П1
Находим точки пересечения плоскости – посредника δ с заданной плоскостью φ(a,b) :
7,8 = δ ∩ φ.
Находим окружность пересечения плоскости – посредника δ со сферой Φ - n

Находим точки пересечения построенной окружности сечения сферы и горизонтали сечения плоскости φ: K,L = (78) ∩ n.
n1

Точки A, B, C, D, М, N, K, L, являясь общими для данных поверхности и плоскости будут точками искомой линии пересечения.