Неравенства

1). Определение
2). Виды
3). Свойства числовых неравенств
4). Основные свойства неравенств
4). Типы
5). Способы решения

Запись вида
а>в или а<в
называется неравенством.

Неравенства вида а≥в, а≤в называется ……
Неравенства вида а>в, а<в называется……

1). Если а>в, то в<а.
2).Если а>в, в>с, то а>с.
3). Если а>в, с-любое число, то а+с>в+с.
4). Если а>в, с>х, то а+с>в+х.
5). Если а>в, с>0, то ас>вс.
6). Если а>в, с<0, то ас<вс.
7). Если а>о, с>0,то > .
8). Если а>о, с>0, а>с, то >

1). Любой член неравенства можно переносить из одной части неравенства в другую, изменив его знак на противоположный, при этом знак неравенства не меняется.

2).Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и тоже положительное число, при этом знак неравенства не изменится. Если это число отрицательное, то знак неравенства изменится на противоположное.

ЛИНЕЙНЫЕ
КВАДРАТНЫЕ
РАЦИОНАЛЬНЫЕ
ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ
НЕРАВЕНСТВА

I).I).Линейное неравенство.
1). х+4<0; 2).2х+4≥6;
х<-4; 2х≥-2;
-4 х х≥-1;
Ответ: (-∞;-4).
-1 х
Ответ: [-1;+∞).

1.Решить неравенства.
1). х+2≥2,5х-1;
2).х- 0,25(х+4)+0,5(3х-1)>3;
3).
4).х²+х<х(х-5)+2;
5).

2.
Найдите наименьшие целые числа, являющиеся решениями неравенств
1.2(х-3)-1-3(х-2)-4(х+1)>0;
2.0,2(2х+2)-0,5(х-1)<2.
3.
Найдите наименьшие натуральные числа, являющиеся решениями неравенства
3х-3<1,5х+4.

II).Квадратные неравенства.
Способы решения:
Графический
С применением
систем
неравенств
Метод
интервалов

1.1).Метод интервалов
(для решения квадратного уравнения)
ах²+вх+с>0
1). Разложим данный многочлен на множители, т.е. представим в виде
а(х- )(х- )>0.
2).корни многочлена нанести на числовую ось;
3). Определить знаки функции в каждом из промежутков;
4). Выбрать подходящие интервалы и записать ответ.

x²+x-6=0; (х-2)(х+3)=0;
Ответ: (-∞;-3)v(2;+∞).
х
+
2
-3
+

1.Решение неравенства методом интервалов.
1). х(х+7)≥0;
2).(х-1)(х+2)≤0;
3).х-х²+2<0;
4).-х²-5х+6>0;
5).х(х+2)<15.

Домашняя работа:
Сборник 1).стр. 109 № 128-131
Сборник 2).стр.111 №3.8-3.10; 3.22;3.37-3.4

1.2).Решение квадратных неравенств графически
1). Определить направление ветвей параболы, по знаку первого коэффициента квадратичной функции.
2).Найти корни соответствующего квадратного уравнения;
3).Построить эскиз графика и по нему определить промежутки, на которых квадратичная функция принимает положительные или отрицательные значения.

Пример:
х²+5х-6≤0
y= х²+5х-6 (квадратичная функция, график парабола, а=1, ветви направлены вверх)
х²+5х-6=0; корни этого уравнения: 1 и -6.
у
+ +
-6 1 x
Ответ: [-6;1].
-

Решите графически неравенства:
1).х²-3х<0;
2).х²-4х>0;
3).х²+2х≥0;
4). -2х²+х+1≤0;
(0;3)
(-∞;0)U(4;+∞)
(-∞;-2]U[0;+∞)
(-∞;-0,5]U[1;+∞)

Домашнее задание:
Сборник 1).стр. 115 №176-179.
работы №47,45,42,17,12
(задание №5)
Сборник 2).стр. 116 № 4.4,4.5, 4.11.
работы №6, задание 13.

III).Рациональные неравенства вида
решают методом интервалов.
1) Раскладывают на линейные множители числитель P(x) и знаменатель Q(x). Если это удается, то дальше поступают так.
2) На числовую ось наносят корни всех линейных множителей. На каждом из промежутков, на которые эти точки разбивают ось, дробь P(x)/ Q(x). сохраняет знак
3) Определяют знак дроби на каждом промежутке.
4) Записывают ответ.

Сборник 1).стр. 109 №132
Сборник 2). Стр. 112-113 № 3.20, 3.21,
3.39-3.42

Системы неравенств.

1). Содержащие линейные неравенства.
2). Содержащие квадратное(рациональное) неравенство и линейное неравенство.
3). Содержащие квадратные неравенства.
4). Двойное неравенство, которое решается с помощью систем.
5). Неравенства с модулем

1). 5х+1>6 5x>5 x>1
2x-4<3 ; 2x<7 ; x<3,5.
1 3,5 x
Ответ: (1;3,5).
Задания:
Сборник 1). Стр. 111№139-142
стр. 170-172 № 711-766
Сборник 2).стр. 110 № 3.4-3.7

2). х²-1>0 (x-1)(x+1)>0
x+4<0; x<-4;
+ - +
-4 -1 1 x
Ответ: (-∞;-4).
Задания:
Сборник 1).стр. 111 № 143-145
Сборник 2). Стр. 112-113 №3.24, 3.25

3). х²-4>0
x²-3x+5<0.
Решаем каждое квадратное неравенство в отдельности. Изображаем решения на числовой прямой и смотрим пересечения этих решений. Записываем ответ.
Задания:
Сборник 1). Стр. 111 № 146-147
Сборник 2).стр. 113, 115 № 3.27, 3.29,
3.47, 3.48

4). -12
x-1<1 x<2 Ответ: (-11;2).
x-1>-12; x>-11.
Задания:
Сборник 1).стр. 109 № 126-127, 134,
стр. 172 №783-790
Сборник 2). Стр. 111 №3.9

5).| 3х-2|<10
3x-2>-10 x>
3x-2<10; x<4.
Ответ: ( ;4).