Неравенства

Линейные неравенства
Линейным неравенством с одной переменной х называют неравенства вида ax+b>0 (вместо знака > может быть,разумеется,любой другой знак неравенства),где a и b - действительные числа (а≠0)

правило
Правило 1. Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком,не меняя при этом знака неравенства.
Правило 2. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и тоже положительное число,не меняя при этом знака неравенства.
Правило 3. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и тоже отрицательное число,изменив при этом знак неравенства на противоположный (<на>,≤на≥).

пример
Решить неравенство
Решение:Умножим
Обе части неравенства на положительное число 15,оставив знак неравенства без изменения (правило 2).Это позволит нам освободиться от знаменателей,т.е. перейти к более простому неравенству,равносильному данному:

Воспользовавшись правилом 1 решения неравенств,перенесем член 30x из правой части неравенства в левую,а член -3 –из левой части в правую (с противоположными знаками).Получим:
11x-30x>-1+3;
-17x>2.
Наконец, применив правило 3,получим:

Квадратные неравенства
Квадратным неравенством с одной переменной x называют неравенство вида ax²+bx+c>0 ,где a,b,c –действительные числа (кроме a=0).

правило
Правило 1.Если квадратный трехчлен ax²+bx+c не имеет корней (т.е. его дискриминант D-отрицательное число)и если при этом a>0,то при всех значениях х выполняется неравенство
ax²+bx+c>0.
Иными словами, если D<0,а>0,то неравенство ax²+bx+c>0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ax²+bx+c≤0 в этом случае не имеет решений.

Правило
Правило 2.Если квадратный трехчлен ax²+bx+c не имеет корней (т.е. его дискриминант D-отрицательное число)и если при этом а<0 ,то при всех значениях х выполняется неравенство
ax²+bx+c<0.
Иначе говоря, если D<0,a<0,то неравенство ax²+bx+c<0 выполняется при всех х; напротив,неравенство ax²+bx+c≥0 в этом случае не имеет решений.
эти утверждения-частные случаи следующей теоремы.

Теорема
Если квадратный трехчлен ax²+bx+c имеет отрицательный дискриминант, то при любом х значение трехчлена имеет знак старшего коэффициента а.

Пример
Решить неравенство x²-6х+8>0.
Решение: Разложим квадратный трехчлен x²-6х+8 на линейные множители. Корням трехчлена являются числа 2 и 4.Воспользовавшись известной из курса алгебры для 8-го формулой ax²+bx+c= а(х-х1)(х-х2), получим: х²-6х+8=(х-2)(х-4).
Отметим на числовой прямой корни трехчлена:2 и 4.
(рисунок). Выясним, когда произведение (х-2)(х-4)
Положительно, а когда отрицательно.

Если х>4,то x-2>0 и x-4>0,значит,(х-2)(х-4)>0.Если 2
0,а x-4<0,значит,(х-2)(х-4)<0.Если,наконец,х<2,то и х-2>0,и х-4<0,а потому (х-2)(х-4)>0.Нас интересует все те значения переменной х, при которых данный квадратный трехчлен x²-6x+8 принимает положительные значения.Это имеет место на двух открытых лучах
Ответ: х<2;х>4.
Метод рассуждений, который мы применили в примере, называют обычно методом интервалов (или методом промежутков).Он активно используется в математике для решений рациональных неравенств.

Рациональные неравенства
Рациональное неравенство с одной переменной х -это неравенство вида h(x)>q(x) ,где h(x) и q(x) –рациональные выражения, т.е.алгебраические выражения, составленые из числа и переменной х с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в натуральную степень. Разумеется, переменная может быть обозначена любой другой буквой.

Правило
При решении рациональных неравенств используются те правила, которые были сформулированы в предыдущих слайдов. С помощью этих правил обычно преобразуют заданное рациональное неравенство к виду f(x)>0(<0),где f(x)-алгебраическая дробь (или многочлен).Далее разлагают числитель и знаменатель дроби f(x) на множители вида х-а (если, конечно, это возможно) и применяют метод интервалов, которые мы уже упоминали и подробнее покажем на примере.

Пример
Решить неравенство: (х-1)(х+1)(х-2)≤0.
Решение: Извлечем необходимую информацию из рисунка,
но с двумя изменениями. Во-первых, поскольку нас интересует, при каких значениях х выполняется неравенство f(х)<0,нам придется выбрать промежутки
Во-вторых, нас устраивают и те точки, в которых выполняется равенство f(х)=0.Это точки -1,1,2 ,отметим их на рисунке темными кружочками и включим в ответ. На рисунке представлена геометрическая иллюстрация решения неравенства, от которой нетрудно перейти к аналитической записи.
Ответ: х ≤-1; 1≤ х ≤2