Общая теория статистики

Раздел 1
Общая теория статистики
Тема 1. Предмет, метод и задачи общей теории статистики
Тема 2. Массовые статистические наблюдения
Тема 3. Сводка и группировка статистических данных. Статистические таблицы
Тема 4. Абсолютные и относительные величины
Тема 5. Анализ рядов распределения
Тема 6. Анализ взаимосвязи между явлениями
Тема 7. Выборочное наблюдение
Тема 8. Индексы
Тема 9. Ряды динамики

Тема 1. Предмет, метод и задачи общей теории статистики
1.1. Предмет общей теории статистики
1.2. Основные понятия теории статистики
1.3. Стадии и методы статистического исследования
1.4. Задачи статистики

1.1. Предмет общей теории статистики

Изначально термин «статистика» (происходит от лат. status - состояние, положение вещей) употреблялся в значении «политическое состояние» (отсюда итал. stato - государство и statista - знаток государства).

Уильям Петти (Petty) - английский экономист, родоначальник буржуазной классической политической экономии. Получил медицинское образование в университетах Лейдена, Парижа и Оксфорда. Обладал разносторонними способностями: в 1647 г. изобрел копировальную машину, в 1649 г. получил степень доктора физики, в 1651 г. стал профессором анатомии и музыки. Петти был крупным землевладельцем. В 1652 г. по поручению правительства Кромвеля провел «обзор земель» Ирландии. Петти выступил как идеолог английской буржуазии, усилившей свою власть после Английской буржуазной революции ХVII в. Главные труды Петти: «Трактат о налогах и сборах» (1662), «Слово мудрым» (1665), «Политическая анатомия Ирландии» (1672), «Политическая арифметика» (1683) и др.
Экономическое развитие общества Петти ставил в зависимость от объективных законов, хотя и отождествлял общественные, экономические законы и законы природы, рассматривая их как вечные и неизменные. Метод, примененный Петти при исследовании экономических явлений, заимствован им из естественных наук и дополнен статистическим анализом. Петти - первый автор теории трудовой стоимости. Различал внутреннюю стоимость, которую называл «естественной ценой», и рыночную цену. Петти первым из экономистов поставил вопрос о дифференциальной земельной ренте. Научной была также постановка им вопроса о цене земли.
Взгляды Петти по вопросам экономической политики отражали тенденцию подчинения развития экономики страны интересам промышленного капитала, хотя он и считал закономерным вмешательство государства в регулирование народного хозяйства. Учение Петти в целом описательно, но при анализе ряда экономических явлений Петти приближается к раскрытию их сущности.
1623-1687

Адольф Кетле (Lambert-Adolph-Jacques Quetelet) главным образом известен как отец современной статистики. Посетив Англию, Шотландию, Швейцарию, Италию и Германию, Кетле, в 1832 г., принял заведование построенной по его плану в Брюсселе обсерваторией; в 1834 г. избран в постоянные секретари брюссельской академии наук; преподавал также астрономию и геодезию в Ecole militaire, состоял директором бельгийского статистического бюро и председателем учрежденной по его инициативе бельгийской центральной статистической комиссии.
Труды Кетле в области математики, физики, астрономии и в особенности метеорологии (наблюдения над температурой Земли, работы по электричеству воздуха, наблюдения над так называемыми воздушными волнами; по его мысли состоялся в 1873 г. в Вене первый международный метеорологический конгресс и было положено начало организации систематических наблюдений над метеорологическими явлениями одновременно в разных странах) имеют несомненную ценность, но главной заслугой Кетле являются его работы в области статистики. Всех сочинений Кетле по статистике насчитывается 65.
Весьма существенное значение имела практическая деятельность Кетле как организатора первого международного статистического конгресса. Кетле был проникнут убеждением, что общественные явления могут и должны быть изучаемы только на основании правильно устроенного систематического наблюдения, и во все продолжение своей долгой жизни упорно трудился над осуществлением этой мысли; все организаторы статистических учреждений в Европе с середины 50-х годов были его учениками, и до самого конца своей жизни, на целом ряде статистических конгрессов, с брюссельского (1862) до петербургского (1872) включительно, Кетле поддерживал их своей опытностью. Если в настоящее время сделалась, до известной степени, возможной сравнительная статистика, то исключительно благодаря некоторому объединению принятых в различных странах способов и приемов наблюдения над явлениями общественной жизни, к каковому объединению Кетле постоянно стремился.
1796-1874

Первый русский профессор и член Петербургской Академии наук, человек энциклопедических знаний, разносторонних интересов и способностей. В центре внимания экономических воззрений Ломоносова стоял вопрос об обеспечении экономической независимости и самостоятельности России. Возглавляя в 1758 г. Географический департамент АН, Ломоносов выдвинул идею плана экономико-географического атласа России, отличающегося от ранее изданного Академией наук «Атласа Российского» (1745). Для получения необходимых сведений Ломоносов в 1759 г. разработал, в частности, проект статистической анкеты (формы запросов). С академической деятельностью Ломоносова, превратившего Географический департамент в центр статистико-географического изучения хозяйства России, связаны работы по созданию «Экономического лексикона российских продуктов» (1763). В начатой работе над «Лексиконом» Ломоносов пытался составить целостное представление о структуре производства и обращении продуктов, о движении товарных потоков в масштабах всей страны с выделением конкретных видов и региональной характеристикой товаров. Ломоносов придавал большое значение изучению населения. В трактате «О сохранении и размножении Российского народа» (1761) Ломоносов дал глубокую характеристику демографической ситуации в России в середине XVIII в., обосновал необходимость принятия мер по стимулированию рождаемости, снижению смертности, в т. ч. детской, улучшению миграционных процессов. Этот первый русский трактат о политике населения положил начало демографической науке в России. Важную роль в широком статистико-географическом описании страны Ломоносов отводил публикации текущих сведений о производстве и торговле. Он обосновал в 1759 г. необходимость издания на русском языке экономической газеты «Внутренние российские ведомости» и позднее ¾ экономического журнала «Экономические и физические сочинения». Ломоносов ¾ основоположник названной им русской экономической географии, отличающейся от господствовавшего формально описательного государствоведения. География была у Ломоносова, в сущности, своеобразной системой статистики в понимании XVIII в., которая в основном близка к современной экономической географии.
1711-1765

Из данного определения следуют основные черты предмета статистической науки:
1. Статистика - наука общественная.
2. В отличие от других общественных наук статистика изучает количественную сторону общественных явлений.
3. Статистика изучает массовое явление.
4. Статистика изучает количественную сторону явлений в неразрывной связи с количественной стороной и это находит свое воплощение в существовании системы статистических показателей.
5. Статистика изучает количественную сторону явлений в конкретных условиях места и времени.
Предметом статистики является количественная сторона массовых социально-экономических явлений в непосредственной связи с качественным содержанием, конкретными условиями, местом и временем.
Статистика изучает также влияние природных и технических факторов на количественные отношения общественной жизни и влияние жизнедеятельности общества на среду обитания.

1.2. Основные понятия теории статистики

1. Статистическая совокупность – это множество единиц изучаемого явления, объединенных в соответствии с задачей исследования единой качественной основой, общей связью, но отличающихся друг от друга отдельными признаками.

2. Статистический показатель – это количественная оценка свойства изучаемого явления.

3. Признак – это качественная особенность единицы совокупности.
Показатель:
{Качественная сторона}={Количественная сторона}
Признак
Количественный
Атрибутивный
Непрерывный
Дискретный

4. Статистическая закономерность - это форма проявления причинной связи, выражающаяся в последовательности, регулярности, повторяемости событий с достаточно высокой степенью вероятности, если причины (условия), порождающие события не изменяются или изменяются незначительно.
Статистические закономерности устанавливаются на основе анализа массовых данных.

1.3. Стадии и методы статистического исследования

Статистическое исследование количественной стороны общественных явлений проходит три стадии.
1. Сбор первичной статистической информации. На этой стадии применяются методы массового наблюдения, так как изучаемые статистикой закономерности проявляются в достаточно большом массиве данных на основе действия закона больших чисел.
2. Статистическая сводка и обработка первичной информации. Важнейшим методом второй стадии является метод статистических группировок, позволяющий выделить однородные совокупности, разделить их на группы и подгруппы. На этой стадии переходят от описания отдельных единиц к описанию их групп и объекта в целом посредством подсчета итогов, вычисления обобщающих показателей в виде относительных средних величин.
3. Анализ статистической информации, который позволяет раскрыть причинные связи изучаемых явлений, определить влияние и взаимодействие различных факторов, оценивать эффективность принимаемых управленческих решений, возможные экономические и социальные последствия складывающихся ситуаций. Здесь применяется весь арсенал статистических методов - ряды динамики, индексы, методы математической статистики и т. д. Выводы и анализ излагаются в текстовой форме и сопровождаются таблицами и графиками.

1.4. Задачи статистики

На каждом этапе развития перед статистикой встают специфические задачи, обусловленные характером самого этапа. В условиях рыночной экономики социально-экономическая статистика призвана решать новые задачи. Для этого требуются:
повышение ее качества и оперативности,
совершенствование отчетности,
углубление социально-экономического анализа.

Особое внимание должно быть уделено
совершенствованию методологии анализа важнейших пропорций:
между производством и потреблением,
потреблением и накоплением,
между производством средств производства и производством предметов потребления,
между отдельными отраслями;
изучению структуры экономики и технико-экономических сдвигов, научно-технического прогресса;
выявлению диспропорций, которые могут возникнуть в экономике; вскрытию и более полному использованию всех возможностей рыночной экономики.
Большое значение имеет также оценка состояния экономики и уровня жизни населения.

Практическое решение этих задач призвана осуществлять система органов государственной статистики. Конкретные задачи определены:
Гражданским кодексом Российской Федерации (часть первая от 30.11.94 № 51-ФЗ);
Федеральным законом № 282-ФЗ от 29 ноября 2007 года «Об официальном статистическом учете и системе государственной статистики в Российской Федерации»;
Федеральным законом №24-ФЗ от 20 февраля 1995 «Об информации, информатизации и защите информации»;
Федеральным законом № 184-ФЗ от 27 декабря 2002 «О техническом регулировании»;
Федеральным законом № 129-ФЗ от 08 августа 2001 «О государственной регистрации юридических лиц и индивидуальных предпринимателей»);
Указом Президента РФ от 9 марта 2004 г. № 314 «О системе и структуре федеральных органов исполнительной власти»;
Постановлениями Правительства РФ от 7 апреля 2004 г. № 188 «Вопросы Федеральной службы государственной статистики» и от 30 июля 2004 г. № 399 «Об утверждении Положения о Федеральной службе государственной статистики».

В постановлении Правительства РФ от 30 июля 2004 г. отмечается, что Федеральная служба государственной статистики (далее – Служба) осуществляет следующие полномочия в установленной сфере деятельности:
вносит в Правительство РФ проекты федеральных законов, нормативных правовых актов Президента РФ и Правительства РФ и другие документы, по которым требуется решение Правительства РФ, а также проект ежегодного плана работы и прогнозные показатели деятельности Службы;
на основании и во исполнение Конституции Российской Федерации, федеральных конституционных законов, федеральных законов, актов Президента РФ и Правительства РФ самостоятельно принимает нормативные правовые акты по вопросам в установленной сфере деятельности, за исключением вопросов, правовое регулирование которых в соответствии с Конституцией РФ и федеральными конституционными законами, федеральными законами, актами Президента РФ и Правительства РФ осуществляется исключительно федеральными конституционными законами, федеральными законами, нормативными правовыми актами Президента РФ и Правительства РФ;
представляет официальную статистическую информацию Президенту РФ, Правительству РФ, Федеральному Собранию Российской Федерации, иным органам государственной власти, органам местного самоуправления, средствам массовой информации, организациям и гражданам, а также международным организациям;
разрабатывает официальную статистическую методологию для проведения статистических наблюдений и формирования статистических показателей, в пределах своей компетенции обеспечивает соответствие указанной методологии международным стандартам;
осуществляет подготовку, проведение и подведение итогов Всероссийской переписи населения, а также ее методологическое обеспечение;
осуществляет подготовку, проведение и методологическое обеспечение статистических обследований;
обеспечивает заинтересованных пользователей данными бухгалтерской отчетности юридических лиц, осуществляющих свою деятельность на территории Российской Федерации;
организует деятельность федеральных органов исполнительной власти по формированию государственных информационных ресурсов в области государственной статистики;
разрабатывает и ведет общероссийские классификаторы технико-экономической и социальной информации;
проводит конкурсы и заключает государственные контракты на размещение заказов на поставку товаров, выполнение работ и оказание услуг для нужд Службы, а также на проведение научно-исследовательских работ для государственных нужд;
обобщает практику применения законодательства Российской Федерации в установленной сфере деятельности;
осуществляет функции главного распорядителя и получателя средств федерального бюджета, предусмотренных на содержание Службы и реализацию возложенных на Службу функций;
организует прием граждан, обеспечивает своевременное и полное рассмотрение устных и письменных обращений граждан, принятие по ним решений и направление ответов заявителям в предусмотренный законодательством Российской Федерации срок;
обеспечивает в пределах своей компетенции защиту сведений, составляющих государственную тайну;
обеспечивает в пределах своей компетенции соответствующий режим хранения и защиты полученной в процессе деятельности Службы информации, составляющей служебную, банковскую, налоговую, коммерческую тайну, и иной конфиденциальной информации;
обеспечивает мобилизационную подготовку Службы, а также контроль и координацию деятельности подведомственных организаций по их мобилизационной подготовке;
организует профессиональную подготовку работников Службы, их переподготовку, повышение квалификации и стажировку;
взаимодействует с соответствующими органами государственной власти иностранных государств и международными организациями;
ведет в соответствии с законодательством Российской Федерации работу по комплектованию, хранению, учету и использованию архивных документов, образовавшихся в процессе деятельности Службы;
осуществляет иные полномочия, если такие полномочия предусмотрены федеральными законами, нормативными правовыми актами Президента РФ или Правительства РФ.

С целью реализации полномочий в установленной сфере деятельности Федеральная служба государственной статистики имеет право:
запрашивать и получать сведения, необходимые для принятия решений по вопросам, отнесенным к компетенции Службы;
заказывать проведение необходимых исследований, испытаний, анализа и оценок, а также научных исследований по вопросам надзора в установленной сфере деятельности;
давать юридическим и физическим лицам разъяснения по вопросам, отнесенным к компетенции Службы;
осуществлять контроль над деятельностью территориальных органов Службы и подведомственных организаций;
привлекать для проработки вопросов в установленной сфере деятельности научные и иные организации, ученых и специалистов;
применять предусмотренные законодательством Российской Федерации меры ограничительного, предупредительного и профилактического характера, направленные на недопущение и (или) пресечение нарушений юридическими лицами и гражданами обязательных требований в установленной сфере деятельности, а также меры по ликвидации последствий указанных нарушений;
создавать координационные, совещательные и экспертные органы (советы, комиссии, группы, коллегии), в том числе межведомственные;
учреждать знаки отличия и награждать ими граждан за высокие достижения в установленной сфере деятельности.

Федеральная служба государственной статистики http://www.fsgs.ru/

Тема 2. Массовые статистические наблюдения
2.1. Основные требования, предъявляемые к массовым статистическим наблюдениям
2.2.Основные организационные формы, виды и способы статистического наблюдения
2.3. Организационный план статистического наблюдения
2.4. Ошибки статистического наблюдения

2.1. Основные требования, предъявляемые к массовым статистическим наблюдениям
Точность и достоверность.
Полнота в отношении охвата данных:
в пространстве,
во времени,
по важности признаков.
Сопоставимость, единообразие.
Учет последующей обработки данных.
Своевременность представления.

2.2.Основные организационные формы, виды и способы статистического наблюдения

В российской статистике используются три основные организационные формы статистического наблюдения:
Статистическая отчетность (предприятий, организаций, учреждений и т. п.). Основная форма статистического наблюдения, с помощью которой статистические органы в определенные сроки получают от предприятий, организаций и учреждений необходимые данные в виде установленных в законном порядке отчетных документов, скрепленных подписями лиц, ответственных за представление этих документов и достоверность собираемых сведений. Действующая отчетность делится на типовую и специализированную. По срокам представления отчетность бывает ежедневная, недельная, двухнедельная, месячная, квартальная и годовая.
Специально организованное статистическое наблюдение (переписи, единовременные учеты и обследования) проводится для получения данных, отсутствующих в отчетности, или для проверки ее данных.
Регистры. Регистровое наблюдение - форма непрерывного наблюдения за долговременными процессами, имеющими фиксированное начало, стадию развития и фиксированный конец. Оно основано на ведении статистического регистра. Регистр представляет собой систему, постоянно следящую за состоянием единицы наблюдения, которая характеризуется совокупностью показателей. Все показатели хранятся до полного завершения наблюдения за единицей обследуемой совокупности.

В практике статистики различают регистры населения и регистры предприятий.
Регистр населения - поименованный и регулярно актуализируемый перечень жителей страны. Программа наблюдения содержит общие признаки: пол, дата, место рождения, дата вступления в брак, брачное состояние. Регистр населения, как любой регистр, охватывающий наблюдением значительную совокупность единиц, содержит данные по ограниченному числу признаков.
Регистр предприятий охватывает все виды экономической деятельности и содержит значения основных признаков по каждой единице наблюдаемого объекта за определенный период или момент времени. Регистры предприятий включают в себя данные о времени создания (регистрации) предприятия, его название и адрес, телефон, сведения об организационно-правовой форме, структуре, видах экономической деятельности, количестве занятых и др.
Единый государственный регистр предприятий и организаций всех форм собственности (ЕГРПО) дает возможность организовать сплошное наблюдение, а по ограниченному кругу статистических показателей предприятий, зарегистрированных на территории России, позволяет получать непрерывные ряды показателей в случае изменения территориальной, отраслевой и других структур совокупности.
Регистр содержит данные о таких показателях, как среднесписочная численность работников, средства, направляемые на потребление, остаточная стоимость основных средств, балансовая прибыль (убыток), уставный фонд.
ЕГРПО позволяет проводить отбор и группировку любой совокупности единиц по одному или нескольким признакам.
Данные о единицах наблюдения собираются в процессе государственной регистрации предприятий и последующего учета. При закрытии предприятия ликвидационная комиссия в десятидневный срок уведомляет об этом службу ведения регистра.
Пользователями регистра могут быть любые юридические или физические лица, заинтересованные в получении информации.

Виды статистического наблюдения классифицируются по следующим признакам:
■ времени регистрации фактов:
непрерывное (текущее),
периодическое и
единовременное;
■ охвату единиц совокупности:
сплошное и
несплошное.
Организационные формы несплошного наблюдения (различаются способом отбора единиц наблюдения):
выборочное (единицы отбираются в случайном порядке);
метод основного массива (отбираются единицы, составляющие наибольший удельный вес в совокупности);
монографическое (отбирается одна единица совокупности, обладающая наиболее характерными признаками).

Способами статистического наблюдения являются
непосредственное наблюдение (замер, подсчет);
документальный учет фактов (необходимые сведения берутся из соответствующих документов);
опрос (сведения фиксируются со слов опрашиваемого).
В статистике применяются следующие виды опросов:
экспедиционный (устный);
саморегистрации;
явочный;
корреспондентский;
анкетный.

2.3. Организационный план статистического наблюдения

2.4. Ошибки статистического наблюдения

Ошибки регистрации - это отклонения между значением показателя, полученным в ходе статистического наблюдения, и фактическим, действительным значением показателя.
Ошибка репрезентативности - отклонение значения показателя обследованной совокупности от его величины по исходной совокупности.
Точностью статистического наблюдения называют степень соответствия величины какого-либо показателя, определенной по материалам статистического наблюдения, действительной величине этого показателя.
Расхождение между расчетными и действительными значениями изучаемых величин называется ошибкой наблюдения.
В зависимости от причин возникновения различают ошибки регистрации и ошибки репрезентативности.

случайные и
систематические (преднамеренные и непреднамеренные)
случайные (оцениваются с помощью аппарата математической статистики) и
систематические (нельзя оценить с помощью аппарата математической статистики)
Характерны как для сплошного, так и несплошного наблюдения
Характерны для несплошного наблюдения

После получения статистических формуляров следует провести проверку полноты и качества собранных данных.
Контроль полноты - это проверка того, насколько полно объект охвачен наблюдением, иначе говоря, о всех ли единицах наблюдения собраны сведения.
Контроль качества материала осуществляется с помощью логического и арифметического контроля.

Тема 3. Сводка и группировка статистических данных. Статистические таблицы

Программа сводки включает определение:
групп и подгрупп;
системы показателей;
видов таблиц.
С помощью метода группировок решаются следующие задачи:
выделение социально-экономических типов явлений;
изучение структуры явления и структурных сдвигов, происходящих в нем;
выявление связи и зависимости между явлениями.

Группировка – это разбиение совокупности на группы, однородные по какому-либо признаку.
Классификация – это узаконенная, общепринятая, нормативная группировка.
Метод группировки основывается на двух категориях:
группировочный признак;
интервал.
Интервалы бывают:
равные, когда разность между максимальным и минимальным значениями в каждом из интервалов одинакова;
неравные, когда, например, ширина интервала постепенно увеличивается, а верхний интервал часто не закрывается вовсе;
открытые, когда имеется только либо верхняя, либо нижняя граница;
закрытые, когда имеются и нижняя, и верхняя границы.

Для определения число групп с используется формула Стерджесса:
n = 1 + 3,322 lgN,
где n - число групп;
N - число единиц совокупности.
Длина интервала:
L=Rmax/n=(xmax-xmin)/n

Методы многомерной классификации.
Кластерный анализ
Claster (англ.) – группа элементов, характеризуемых каким-либо общим свойством
Пример
Провести классификацию n=5 семей по двум показателям: уровень расходов (млн руб.) за летние месяцы на культурные нужды, спорт и отдых – x1 и питание x2.

Расстояние между наблюдениями 1 и 2 (евклидово расстояние):
Расстояние между кластерами по принципу "ближайшего соседа":
6
5
4
3
2
1
0
1 2 3 4 5
2,24
3,61
4,12
5,83
ρ

1
2
3
4
5

Тема 4. Абсолютные и относительные величины

А. Абсолютные величины отражают физические размеры изучаемых статистикой процессов и явлений, а именно их массу, площадь, объем, протяженность, временные характеристики, а также могут представлять объем совокупности, т. е. число составляющих ее единиц. Абсолютные статистические показатели всегда являются именованными числами и могут выражаться в натуральных, стоимостных или трудовых единицах измерения.
Б. Относительные величины представляют собой результат деления абсолютного показателя на другой и выражают соотношение между количественными характеристиками социально-экономических процессов и явлений.
Относительные статистические величины бывают следующих видов:
динамики;
расчетного задания;
выполнения расчетного задания;
структуры;
координации;
интенсивности;
сравнения.

1. Относительная величина динамики (ОВД) - отношение уровня исследуемого процесса или явления за данный период времени (по состоянию на данный момент времени) к уровню этого же процесса или явления в прошлом:

Пример 1

2. Относительная величина расчетного задания (ОВРз) - отношение величины расчетного задания на период к достигнутой величине прошлого периода:
3. Относительная величина выполнения расчетного задания (ОВРв.з) - отношение величины, достигнутой в отчетном периоде, к величине расчетного задания:

ОВРз·ОВРвз=ОВД
Пример 2

4. Относительная величина структуры (ОВС) - соотношение структурных частей изучаемого объекта и их целого:

Пример 3
На основании данных примера 1 рассчитать относительные величины структуры

5. Относительная величина координации (ОВК) - отношение одной части совокупности к другой части этой же совокупности:

Пример 4
На основании данных примера 1 рассчитать относительные величины координации

6. Относительная величина интенсивности (ОВИ) характеризует степень распространения изучаемого процесса или явления и представляет собой отношение исследуемого показателя к показателю присущей ему среды:
Разновидностью относительной величины интенсивности является относительная величина уровня экономического развития, характеризующая производство продукции в расчете на душу населения и играющая важную роль в оценке развития экономики государства.

Пример 5

7. Относительная величина сравнения (ОВСр) - соотношение одного и того же абсолютного показателя, характеризующего разные объекты:

Пример 6

Тема 5. Анализ рядов распределения
5.1. Средние величины
5.2. Анализ вариации
5.3. Анализ формы кривой распределения

Основные стадии анализа рядов распределения:
Оценка массового уровня признака с помощью расчета средних показателей.
Оценка колеблемости признака.
Оценка формы кривой распределения.

5.1. Средние величины
5.1.1. Принципы применения средних величин
5.1.2. Классификация средних величин
5.1.3. Степенные средние
5.1.4. Структурные средние

5.1.1. Принципы применения средних величин
При определении средней в каждом конкретном случае нужно исходить из качественного содержания осредняемого признака, учитывать взаимосвязь изучаемых признаков, а также имеющиеся для расчета данные.
Средняя величина должна прежде всего рассчитываться по однородной совокупности.
Общие средние должны подкрепляться групповыми средними.
Необходим обоснованный выбор единицы совокупности, для которой рассчитывается средняя.

5.1.2. Классификация средних величин

5.1.3. Степенные средние

Простая средняя считается по несгруппированным данным:
Взвешенная средняя считается по сгруппированным данным:
=n

Если рассчитать все виды средних для одних и тех же исходных данных, то значения их окажутся не одинаковыми. Здесь действует правило мажорантности средних:
с увеличение показателя степени z увеличивается и соответствующая средняя величина:

В отдельных случаях веса могут быть представлены не абсолютными величинами, а относительными (в % или долях единицы). Тогда используют формулу средней:
В интервальном вариационном ряду для расчета средней арифметической взвешенной определяются и используются значения середины интервалов.
Доля группы в совокупности

Пример 1
Средняя арифметическая взвешенная
Средняя гармоническая взвешенная

Пример 2

Пример 3

Пример 4
Финансирование инвестиций за счет собственных средств по предприятиям АО за отчетный период характеризуются следующими данными.
Необходимо определить средний удельный вес собственных средств в общем объеме инвестиций по АО.
Вес группы
Осредняемый признак

Пример 5
Портфель инвестора состоит из акций трех компаний. Их доходность равна соответственно 15, 18 и 20%, а доля в портфеле – 20, 45 и 35%. Какова средняя доходность портфеля?

Пример 6

Пример 7
Определить среднеквартальный коэффициент роста выпуска продукции.
Простая геометрическая средняя

Пример 8
Определить среднегодовой темп роста душевого дохода в США в рассматриваемом периоде.
Взвешенная геометрическая средняя

5.1.4. Структурные средние

Мода (Мо) - наиболее часто встречающееся значение признака в совокупности.

Для дискретного ряда мода определяется по таблице или графику.

Для интервального ряда мода определяется в два этапа:
определяется модальный интервал;
уточняется значение моды внутри модального интервала по формуле:
x0 – начало модального интервала; i – длина интервала;
– разность частот модальной и домодальной;
– разность частот модальной и замодальной.
Формула используется и для рядов с неравными интервалами, только в этом случае необходимо сначала рассчитать плотность распределения, затем по плотности определить модальный интервал и провести расчет по формуле.

2. Медиана (Ме) – значение признака в середине ранжированного ряда.
Определение медианы для несгруппированных данных

Для дискретного ряда медиана определяют путем накапливания частот с начала ряда до варианта, в котором сумма накопленных частот будет равна или превысит половину объема статистической совокупности.

Для интервального ряда медиана определяется в два этапа:
определяется медианный интервал;
уточняется значение медианы внутри медианного интервала по формуле:
xе – начало медианного интервала;
i – длина интервала;
∑me-1 – накопленная частота интервала, предшествующего медианному;
me – частота медианного интервала.
Формула используется и для рядов с неравными интервалами.

Определение моды и медианы для вариационного ряда с неравными интервалами

xmin
xmax
Me
Q3
Q2
Q1
50%
75%
25%

5.2. Анализ вариации

Колеблемость отдельных значений характеризуют показатели вариации.
Термин «вариация» произошел от латинского variatio - изменение, колеблемость, различие.
Однако не всякие различия принято называть вариацией. Под вариацией в статистике понимают такие количественные изменения величины исследуемого признака в пределах однородной совокупности, которые обусловлены перекрещивающимся влиянием различных факторов.
Различают случайную и систематическую вариации признака.
Анализ систематической вариации позволяет оценить степень зависимости изменений в изучаемом признаке от определяющих его факторов.
Вариация измеряется рядом абсолютных, средних и относительных показателей.

Простейшие свойства σ
Если все частоты умножить или разделить на какое-либо постоянное число, то σ не измениться.
Если ко всем вариантам признака прибавить или отнять какое-либо постоянное число, σ не измениться.
Если все варианты признака умножить или разделить на какое-то постоянное число, то σ умножиться или разделиться на модуль этого числа.
Дисперсия равна осредненному квадрату минус квадрат самой средней:

Чем меньше Vσ и σ, тем надежнее среднее.
Условная граница однородности Vσ =33%.

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Правило сложения дисперсий
Если некоторая совокупность единиц делится на группы, то наряду с общей дисперсией могут быть также найдены дисперсии для каждой отдельной группы – групповые (внутригрупповые) дисперсии σi2, а также их средняя величина:
Кроме того, может быть вычислена также межгрупповая дисперсия δ2, характеризующая колеблемость групповых средних около общей средней :

В математической статистике доказывается, что общая дисперсия равна:
Средняя из групповых дисперсий
Межгрупповая дисперсия

Пример 4

5.3. Анализ формы кривой распределения

При построения кривой распределения выделяют два подхода:
Прямой, который заключается в постепенном уменьшении величины интервалов и одновременном, но не столь быстром, увеличении числа наблюдений.
Косвенный, который заключается в укрупнении интервалов и математическом выравнивании.

Математическое выравнивание сводится к отысканию кривой распределения, которая отражает закономерность изменения плотности в чистом виде.
Математической выравнивание состоит из трех этапов:
выбор и обоснование вида кривой;
выравнивание эмпирических рядов по выбранной кривой;
оценка соответствия выбранного типа кривой эмпирическому ряду.

Нормальное распределение
Условие его возникновения:
Если интересующий нас признак формируется под влиянием суммарного действия взаимонезависимых факторов, ни один из которых не имеет преобладающего влияния по сравнению с остальными и не отличается исключительно большой дисперсией, то при большом числе таких факторов закон распределения признака становится близким к нормальному.

Нормальное распределение Гаусса-Ляпунова выражается следующей формулой:

Заменив через , переходим к стандартной системе единиц,
где начало отсчета , а единица измерения .

Выравнивание эмпирического ряда распределения по нормальной кривой осуществляется в следующей последовательности.
1. Определить центры интервалов в новой системе координат по формуле:
2. Найти ординаты нормальной кривой распределения, представляющие относительные плотности распределения в расчете на единицу измерения, по формуле:
3. Для каждого значения рассчитать значения теоретической частоты (плотности распределения в расчете на интервал):

Критерий Колмогорова
Несовпадения между эмпирическим и теоретическим (по нормальному закону) рядами распределения обусловлены двумя причинами:
расхождения чисто случайные;
несоответствие изучаемого распределения нормальному по своей природе.
Критерий Колмогорова (критерий λ) основан но сопоставлении сумм накопленных эмпирических и теоретических частот и определяется по формуле:
где - максимальное значение разности между накопленными эмпирическими и теоретическими частотами,
n – сумма эмпирических частот.

Асимметрия распределения
Два варианта оценки степени асимметрии:
Коэффициент асимметрии
При левосторонней (отрицательной) асимметрии:
При правосторонней (положительной) асимметрии:

2.

Эксцесс
Используется для характеристики островершинности кривой распределения.
Определяется по формуле:

Нормальное распределение
E=0, r=3
Острая вершина
E>0, r>3
Плоская вершина
E<0, r<3