Объём пирамиды

Рассмотрим произвольную треугольную пирамиду SABC с высотой SO=H.
A
B
C
S
O
H
O1
h
Построим сечение пирамиды, параллельное плоскости основания и находящееся на расстоянии h от её вершины.
Т.к. ΔABCA1B1C1, то по свойству площадей подобных фигур :
A1
C1
B1
h ∈[0; H ]
⇒
Т.к. h – изменяющаяся величина, то площадь сечения можно рассматривать как функцию от переменной h, где h – расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания.

h
H
Используя понятие бесконечной интегральной суммы, объем данной пирамиды можно получить как бесконечную сумму площадей таких сечений, построенных вдоль высоты.
h ∈[0; H ]

На основании предыдущих рассуждений можно сделать вывод о том, что пирамиды с равными площадями оснований и равными высотами, имеют равные объемы.
H
Sосн.1= Sосн.2
V1 = V2
h
Sсеч.1= Sсеч.2

A
B
C
B1
A1
C1
C
A1
B
Рассмотрим произвольную треугольную призму ABCA1B1C1.
Разобьем её на две части секущей плоскостью (A1BC).
Получились две пространственные фигуры: треугольная пирамида A1ABC и четырехугольная пирамида A1BCC1B1 (обе пирамиды с вершиной A1).

A
C
B1
A1
C1
C
A1
B
B
Теперь разобьём четырёхугольную пирамиду A1BCC1B1 секущей плоскостью (A1C1B) на две треугольные пирамиды: A1BB1C1 и A1BCC1 (обе пирамиды с вершиной A1).
A1
C1
B

A
C
B1
A1
C1
C
A1
B
B
A1
C1
B
У треугольных пирамид A1ABC и BA1B1C1 основания равны (как противоположные основания призмы) и их высотами является высота призмы. Значит, их объемы также равны.
У треугольных пирамид A1BB1C1 и A1BCC1 основания равны (объясните самостоятельно) и у них общая высота, проведенная из вершины A1. Значит, их объемы также равны.

A
C
B1
A1
C1
C
A1
B
B
A1
C1
B
Тогда, по свойству транзитивности, объемы всех трех пирамид равны:
Значит, объем пирамиды в три раза меньше объема призмы с такими же основанием и высотой, т.е.

h
H
h
Эту же формулу можно было получить непосредственным интегрированием площади сечения, как функции, зависящей от расстояния h:
h ∈[0; H ]
0

Рассматривая произвольную n-угольную пирамиду SA1A2…An как сумму треугольных пирамид с общей вершиной и высотой, получим формулу для нахождения объема любой пирамиды:
S
A3
An
A2
A1
H