Основные квантовохимические методы решения электронного уравнения

Постановка задачи. Основные утверждения.
Алгебраическое приближение. Базисные наборы.
Неэмпирические и полуэмпирические методы квантовой химии.
Метод самосогласованного поля и методы функционала плотности.
Проблема учета электронной корреляции.
Проблематика сверхбольших систем.
Оглавление

Постановка задачи
Приближенное решение электронного уравнения Шредингера для основного и возбужденных состояний молекулярных систем для определения:
Энергии состояний;
Их свойств:
Мультипольные моменты, поляризуемость,...
Производные энергий по ядерным координатам

Основные утверждения
Антисимметричность волновых функций
Нерелятивистский гамильтониан => спин хорошее квантовое число
Волновые функции должны преобразовываться по неприводимым представлениям точечной группы симметрии ядерной конфигурации
Гамильтониан содержит только одно- и двухчастичные взаимодействия => энергия системы определяется только матрицами плотности первого и второго порядка

Алгебраическое приближение
Проблема N-представимости => работаем с волновыми функциями, а не плотностями
N электронов => задача на собственные значения для оператора в 3N-мерном пространстве
Переход к конечномерному базису как способ сделать задачу трактабельной
Базис - антисимметризованные произведения (определители Слетера) одночастичных базисных функций (спин-орбиталей)

Базисные наборы
Полная энергия атомов намного больше энергий химических связей => обычно используют т.н. атомные базисы (АО)
Атомные базисы:
центрированы на атомах;
как правило, работают с АО вида

Неэмпирические и полу-эмпирические методы квантовой химии
Неэмпирические методы - полное отсутствие подгоночных параметров:
Иерархия методов разной степени точности;
Теоретическая возможность получения точного ответа.
Полуэмпирические методы - включают в схему расчета эмпирические параметры:
Требуют меньше вычислительных ресурсов;
Менее надежны.

Метод самосогласованного поля (ССП)

Уравнения Хартри-Фока (ССП) для замкнутых оболочек

Свойства уравнений Хартри-Фока (ХФ)
На каждой итерации необходимо O(N3) операций для манипуляций с матрицами:
Достаточно плохо параллелизуемая стадия.
Формально O(N4) операций для атомных интегралов и 2-х электронной части оператора Фока на каждой итерации:
Идеально параллелизуемая стадия;
Сверхбольшие системы - число ненулевых интегралов меньше, чем O(N4), и в пределе равно O(N2ln(N)).
O(N2) - обмен данными на каждой итерации

Методы функционала плотности
Метод ССП: Е0=Е0(R)
Теорема Хоенберга-Кона Е0=Е0(ρ)
Точный вид функционала известен только в предельных случаях:
используют различные эмпирические конструкции;
локальные (LDA) и нелокальные (BP, PBE) функционалы;
По сравнению с ХФ, позволяют заменить O(N4) вычислений на O(N3) и лучше;
гибридные функционалы (B3LYP) - основаны на плотности ХФ.

Проблема учета электронной корреляции
ССП:
основан на модели независимых частиц;
однодетерминантное приближение к точному решению;
во многих случаях достаточно грубое приближение.
Точное решение (в заданном базисе) дает т.н. полное КВ - решение задачи на собственные значения для электронного гамильтониана в базисе всех возможных определителей Слетера:
Вычислительные затраты растут как N! .

Проблема учета электронной корреляции
3 основных группы методов:
теория возмущений (ТВ):
H = H0 + V
конфигурационное взаимодействие (КВ):
Φ = (1+C1+C2+...) Φ0
теория связных кластеров (СК):
Φ = exp(T1+T2+...) Φ0
Преобразование интегралов как общая стадия всех подходов

Учет электронной корреляции - преобразование интегралов
Базис АО неортогонален
Практически все подходы используют ВФ метода ССП как нулевое приближение
=> необходимо перейти от базиса АО к базису молекулярных орбиталей - одночастичных функций (МО) - решений уравнений ССП
Преобразование 2-х электронных интегралов:

Преобразование интегралов
Формально требует N8 операций
На самом деле, их число N5 или лучше:
Требования к памяти и масштабируемость:
Открытая проблема
Группа методов, требующая N2 слов оперативной памяти:
хорошая масштабируемость;
большие требования к объему дискового пространства.
Группа методов, требующая N3 слов оперативной памяти и больше:
ограниченная масштабируемость;
меньшие требования к объему дискового пространства;
меньше коммуникаций.

Учет электронной корреляции - теория возмущений
Наиболее распространенный вариант - ТВ Меллера-Плессе (МП)
Вариант ТВ Рэлея-Шредингера с разбиением вида:
Размерно-согласованная
Наиболее простой из всех методов

Учет электронной корреляции - теория возмущений МП
Вычислительные затраты, требования к памяти и масштабируемость (энергия/градиент):
МП2:
N5, N2, хорошая/удовлетворительная
МП3:
N6, N3, хорошая/хорошая
МП4:
N7, N3, очень хорошая/хорошая
Пример масштабируемости МП4 (следующий слайд)

MP4(full) calculation running on cluster of 18 Pentium III boxes (500 MHz, 256 MB RAM each).
PC GAMESS runs in MPI mode.

Учет электронной корреляции - конфигурационное взаимодействие
Полное КВ и ограниченное КВ
Любое ограниченное КВ не является размерно-согласованным
Возможность работы с возбужденными состояниями
Вариационные оценки энергий сверху
Часто используется КВ1+2:
Φ = (1+C1+C2) Φ0

Учет электронной корреляции - теория СК
Размерно-согласованные оценки энергий
Алгоритмы напоминают итеративную ТВ
Часто используется СКОД (CCSD):
Φ = ехр(T1+T2) Φ0
Вычислительные затраты больше, чем у ТВ, масштабируемость похожа на ТВ