Основы логики

История логики…
Аристотель
384-322 г. до н.э.
Рене Декарт
1596-1650 г.г.
Вильгельм Лейбниц
1646-1716 г.г.
Джордж Буль
1815-1864 г.г.
Клод Элвуд Шеннон
1916-2001 г.г.

ЛОГИКА – это наука правильно рассуждать, наука о формах и законах человеческого мышления
ГЛАВНАЯ ЗАДАЧА ЛОГИКИ состоит в том, чтобы ВЫЯВИТЬ, какие способы рассуждений правильные, а какие нет.
Задача логики – описать и
исследовать те способы
рассуждений, которые
являются правильными.

ПОНЯТИЕ – мысль, в которой «схватывается» сущность предметов, их внутреннее содержание.
СУЖДЕНИЕМ (ВЫСКАЗЫВАНИЕМ) называется всякое утверждение (всякое предложение), о котором можно сказать, истинно оно или ложно.
Если из двух суждений выводится третье, то этот процесс называется УМОЗАКЛЮЧЕНИЕМ.
Понятие, суждение, умозаключение

Единственная характеристика каждого высказывания есть истинность или ложность. Эта характеристика называется значением истинности данного высказывания.
А = «Высота гор на Земле не превышает
15 км»
А = 1
В = «Париж – столица Бельгии»
В = 0

Суждениями не являются вопросительные, восклицательные предложения и ПРЕДИКАТЫ (выражения о переменных).
«5 + Х = 12», «А + В < 1», «Число Х кратно 3»
Квантор – логическая операция, которая устанавливает область истинности:
Х – «для всех Х»; Х – «существуют такие Х»
или «для некоторых Х»
«5 + Х = 12, если Х = 7»
«(Х) (5 + Х = 12)»

ЧАСТНЫЕ суждения выражают конкретные (частные) факты.
ОБЩИЕ суждения характеризуют свойства групп объектов или явлений.
Суждение считается ПРОСТЫМ, если никакая его часть не является суждением.
СЛОЖНЫЕ суждения характеризуются тем, что образованы из нескольких простых суждений с помощью определенных способов соединения суждений
(с использованием логических связок «И», «ИЛИ», «НЕ», «ЕСЛИ …, ТО…», «ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА…»)

Какие из предложений являются суждениями и каково значение их истинности:
«сидит и смотрит»
«сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым углам»
«верно ли, что  = 3,1415926…?»
«44 > 88»
«математическое доказательство»
«существует такое значение Х, что 2Х2-5Х+3=0»
«не лiзь по перед батька в пекло!»
«для х выражение х2  0»
«Х + 5 = 45»
«20 + 30 + 40 + 10 = 1000»

Укажите, какие из суждений являются частными, а какие общими:
«(x + y) (x – y) = x2 – y2»
«Любой ромб является параллелограммом»
«а3 = а2, если а = 1»
«Крышку уличного люка делают круглой, а не квадратной, потому что она
не может соскользнуть в люк, если поставить ее на ребро»
5) «32 + 42 = 52»
6) «Меркурий – спутник Марса»
7) «Джордано Бруно – ученик Галилео Галилея»
8) «Не существует целого числа, куб которого оканчивался бы цифрой 2»

РАССУЖДЕНИЕ – это цепочка взаимосвязанных суждений, фактов и общих положений, получаемых из других суждений по определенным правилам вывода.
Любое правило вывода умозаключений состоит из двух суждений (простых или сложных). Одно из них называется предпосылкой или условием, а второе – следствием, заключением или выводом.
Вывод умозаключений

Умозаключение по аналогии - это знание, полученное из рассмотрения какого-либо объекта, переносимое на менее изученный, сходный по существенным свойствам и качествам объект («аналогия» – сходство – с греч.)
Пример
«Солнечная система – это планеты, вращающиеся по орбитам, в центре которых находится Солнце»
«Атом – это электроны, вращающиеся по орбитам, в центре которых находится ядро»

«Квадрат – это равносторонний и равноугольный параллелограмм»
«Квадрат – это равносторонний прямоугольник»
«Квадрат – это равноугольный ромб»
«Если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3»
«Если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9»
«Если сумма цифр числа делится на 27, то и само число делится на 27»

Индукция («наведение» – с лат.) – это правило вывода умозаключений при переходе от частных суждений к общим.
Дедукция («выведение») – это правило вывода умозаключений при переходе от общих суждений к частным.

Пример
Саша сказал: «У Димы больше 1000 книг».
Коля возразил: «Нет, книг у него меньше».
«Одна-то книга у него наверняка есть,» - сказала Оля.
Если истинно только одно из этих утверждений, то сколько же книг у Димы?

Законы классической логики
Закон тождества: каждый из предметов, о котором идет речь в рассуждениях и выводах, все время должен оставаться самим собой.
Закон непротиворечия (противоречия): одно и то же нельзя одновременно утверждать и отрицать.
Закон исключенного третьего: каждое высказывание должно быть либо истинным, либо ложным.
Закон двойного отрицания: если отрицание утверждения ложно, то исходное утверждение истинно.

5. Закон достаточных оснований (Г. Лейбниц): любое утверждение должно предполагать наличие аргументов фактов, достаточных для его обоснования. Иными словами, что каждая истина должна быть обоснованной.
6. Принцип выбора: если всегда истинно одно из утверждений А либо В (т.е. одновременно они не могут быть истинны), но истинность В не выполняется, то должна выполняться истинность А.