Перемещение твердого тела

Перемещение твердого тела
r
r’
r0
a
a’

Перемещение и деформация жидкой частицы
С точностью до малых величин второго порядка
Распишем по осям координат:
Чистая деформация

Вращательное перемещение , которое получает точка А, если бы частица затвердела при вращении вокруг мгновенной оси с угловой скоростью

Чистая деформация
шар
эллипсоид
Главные оси эллипсоида – главные оси деформации (перпендикулярны поверхности эллипсоида в точках соприкосновения).

шар
эллипсоид
Если жидкость несжимаема, то объем элемента жидкости не меняется.
Изменение объема элемента жидкости при деформации определяет дивергенция скорости.

Дивергенция скорости
- скорость кубического расширения жидкости в точке
В несжимаемой жидкости

Задача 1
Записать поле скорости в проекциях на оси для плоского течения жидкости вида
uх
х
у

Задача 1
Записать поле скорости в проекциях на оси для плоского течения вида
Такой профиль скорости существует в вязком слое потока жидкости у твердой границы. Этот экспериментальный факт установил Ньютон
uх
х
у

Задача 2
Найти для этого течения
ux=u0 + Cy
х
у

Задача 2
Найти для этого течения
ux=u0 + Cy
х
у
Скалярное произведение векторов
и

Задача 3
uх
х
у
Построить деформацию выделенного объема жидкости при перемещении вниз по потоку

uх
х
у
Чистая деформация
Поворот «затвердевшей» частицы

Поле скорости.

Установившееся ( стационарное) течение u=f(x, y, z)
Неустановившееся (нестационарное) течение
u=f(x, y, z, t)
Равномерное установившееся движение - скорость не меняется вдоль траектории

Линия тока: для данного момента времени t касательная к линии тока в любой ее точке совпадает по направлению со скоростью течения
u1
u2
u3
В стационарном потоке линия тока совпадает с траекторией

Уравнение линии тока

Показать, что
в нестационарном потоке линия тока не совпадает с траекторией

Линии тока в 2 разных момента времени в нестационарном потоке жидкости.
Траектория не совпадает с линией тока

Если в некоторой точке u ≠ 0, то через эту точку проходит только одна линия тока
Если в некоторой точке u = 0, то это особая точка
узел
фокус
центр

Характеристики движения жидкости

Поток скорости через поверхность S
- это объем жидкости протекающий через S за единицу времени (объемный расход)

Средняя скорость течения в канале или трубе с поперечным сечением S:

Дивергенция скорости
- скорость кубического расширения жидкости в точке

Циркуляция скорости по замкнутой кривой с определенным направлением обхода
Положительным считается направление обхода против часовой стрелки

Записать циркуляцию скорости, если жидкость вращается с постоянной скоростью вдоль окружности радиуса R

Вращение с постоянной скоростью вдоль окружности радиуса R

а
х
у
Определить циркуляцию скорости по выделенному контуру (квадрат со стороной а)

а
х
у

Вихрь rotu скорости векторное произведение оператора набла на скорость

х
у
Определить ротор скорости

uх
i
j
k

Вихрь rotu и циркуляция скорости γ
(теорема Стокса)
Если

L
х
у
S
а

Полная производная сложной функции
Обозначим компоненты скорости ux, uy, uz
Найти компоненты ускорения wx, wy, wz
Найти производную

Записать, используя оператор

Записать, используя оператор

Контрольная работа

Определить циркуляцию скорости для потока с компонентами скорости ux=u0+cy, uy=0, uz=0 вдоль окружности x2+y2=R
В сужающейся круглой трубе, ось которой направлена по оси х, радиус сечения уменьшается как линейная функция координаты х. На входе трубы радиуса R скорость потока равна U. Определить скорость потока на расстоянии L от входа
Записать по компонентам и в векторном виде

Уравнение неразрывности

Масса элементарного объема жидкости не изменяется при переходе от момента времени t0 к t

Скорость относительного кубического расширения жидкости в данной точке

Уравнение неразрыности -
следует из закона сохранения массы

Показать, что уравнение неразрывности
можно записать в виде
Задача

умножаем на

Записать уравнение неразрывности для:
несжимаемой неоднородной по плотности жидкости
стационарного движения неоднородной по плотности жидкости

Несжимаемая неоднородная жидкость
Стационарное движение неоднородной жидкости

Используя уравнение неразрывности и теорему Гаусса
показать, что объем несжимаемой жидкости втекающей через неподвижную замкнутую поверхностью S равен объему вытекающей жидкости через ту же поверхность.

а1
а2
u1
u2
Пусть несжимаемая жидкость поступает в замкнутую область, ограниченную поверхностью S. Малые площадки а перпендикулярны линиям тока. Для каждой такой трубки тока
Так как
то число входящих трубок тока равно числу выходящих трубок тока.

ВЫВОД
Внутри любой замкнутой поверхности линии тока несжимаемой жидкости не могут ни начинаться, ни заканчиваться.

Уравнение неразрывности в цилиндрических и сферических координатах

Цилиндрические координаты
z
r
θ

Сферические координаты

Каждая частичка жидкости описывает окружность, перпендикулярную к постоянной оси и с центром на ней. Получить уравнение неразрывности.
Задача 1

Уравнение неразрывности имеет вид
где ω - угловая скорость
z
r
θ

Траектории частиц расположены на поверхностях коаксиальных цилиндров. Найти уравнение неразрывности.
Задача 2

Ответ к задаче 2
z
r
θ
r

Каждая частичка жидкости движется
в плоскости, проходящей через ось z.
Задача 3

Ответ к задаче 3
z
r
θ

Задача 4
Частицы жидкости движутся в пространстве симметрично по отношению к неподвижному центру так, что скорость каждой частицы направлена либо от центра, либо к центру и зависит только от расстояния r от центра