Периодическая дробь мне улыбнулась

Периодическая дробь мне улыбнулась

Среди чисел существует такое согласие и совершенство, что нам надо размышлять дни и ночи над их удивительной закономерностью.
С. Стевин.

У профессора философии А.Ф.Лосева есть такие воспоминания о детстве:
«Когда я узнал, что сумма углов треугольника равняется двум прямым, я почувствовал в этом нечто свое, личное, бесконечно родное, чего у меня уже никто не отнимет. И среди многочисленных волнений жизни и мысли я нашел в этом приют».

Мне так понятны эти слова. Я очень люблю математику и нахожу в ней отзвук своих стремлений. А эти бесконечные, безумные искания, эти порывы к истине… Как-будто все рассказанное учителем понятно, но тем не менее хочется чего-то еще, хочется самостоятельно раскрыть скрытую для МЕНЯ ТАЙНУ. Возникают разного рода вопросы, и вопросы эти бесконечны. Как бесконечна и сама математика…

А началось все с обычной задачи, после прохождения темы: «Сумма бесконечной геометрической прогрессии» где . Нам было предложено решить задачу №425.
Представить в виде обыкновенной дроби число А) 0,(6) ; Б)0,(1)
В принципе, решение этих задач никаких сложностей не представляло.
0,(6)=0,6+0,06+0,006+… Слагаемые в правой части-члены бесконечной геометрической прогрессии, где q=0,1; используя формулу , я рассчитала, что
Следовательно,
Аналогично,

По той же формуле я решила задачу №426.
При решении задач №425, 426, я забыла сократить дроби. Но именно благодаря моей небрежности и состоялась эта работа.

Решив задачи №425, 426, я выдвинула гипотезу №1: чтобы представить чистую периодическую дробь в виде обыкновенной, надо в числитель обыкновенной записать период, а в знаменатель написать столько девяток, сколько цифр в периоде бесконечной десятичной дроби.
Гипотеза №1

И начался эксперимент…
(Фотографии взяты из личного архива)

А разве это делится?

В работу включился общий любимец Гарфилд. Ура!!! Гипотеза подтвердилась!

Докажем, что если в периоде бесконечной десятичной периодической дроби «n» цифр, то имеем:
Доказательство:
Что и требовалось доказать

Поставим перед собой эту же задачу, для случая, когда бесконечная десятичная периодическая дробь - смешанная

А что если «преобразовать» смешанную периодическую дробь так, чтобы она стала чистой, а для чистой периодической дроби правило выведено.
Для этого я рассмотрела задачу №425(Д)
Я рассмотрела много примеров, но никакую гипотезу не смогла выдвинуть. Видно фортуна мне улыбнулась лишь один раз.

Представить в виде обыкновенной дроби число 0,2(3)
Решение:
Пусть х=0,2(3). Умножим обе части этого равенства на 10. 10х=2,(3). 2,(3) - чистая периодическая дробь и мы знаем, что
Чтобы получить число х, надо полученную дробь разделить на 10.
Имеем . Значит

Очевидно, что таким способом можно смешанные периодические дроби переводить сначала в чистые, затем воспользоваться правилом перевода чистой периодической дроби в обыкновенную, и , наконец, не забыть разделить полученную дробь на , где n- количество знаков, на которые надо перенести запятую вправо в исходной смешанной периодической дроби, чтобы записать ее в виде чистой.

В работе доказывается:
Чтобы смешанную периодическую дробь представить в виде обыкновенной, нужно в числителе обыкновенной дроби написать разность между числом, стоящим перед вторым периодом и числом, стоящим перед первым периодом. В знаменателе записать столько девяток, сколько цифр в периоде и приписать к ним столько нулей, сколько цифр перед первым периодом.