Площадь многоугольника

Геометрическая фигура называется простой, если ее можно разбить на конечное число треугольников. Очевидно, что выпуклый плоский многоугольник является простой фигурой.

Свойства площадей
равные многоугольники имеют одну и ту же площадь;

Свойства площадей
если фигура разбита на конечное число простых фигур, то ее площадь равна сумме площадей этих простых фигур;

Свойства площадей
площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице.
1
1
S квадрата=1

Измерение площади состоит в сравнении площади SF данной фигуры F с площадью квадрата со стороной, равной единице измерения
В результате сравнения получается некоторое число – численное значение площади данной фигуры, которое показывает, во сколько раз отличается площадь фигуры F от площади единичного квадрата

Фигуры, имеющие одинаковую площадь, называются равновеликими.
Площади равных фигур равны.

Квадрат
S =a2, где a- сторона квадрата
P=4a ,где a- сторона квадрата

Квадрат
S =a2, где a- сторона квадрата
P=4a ,где a- сторона квадрата
Решить задачу
Разность периметров двух квадратов равна 12 см, а разность их площадей – 105 см2. Найти площадь меньшего из них.

ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНИКА.

А
О
Е
И З М Е Р Е Н И Е О Т Р Е З К О В
В
= ОЕ
ОЕ = 1
АВ = 5

1 кв. ед.
S = 18 кв.ед.

РАВНЫЕ ФИГУРЫ

Равные фигуры –
равные площади.

S = ? кв.ед.
S = 18 кв.ед.

S = 18 кв.ед.

Фигуры, имеющие равную площадь, называются
равновеликими.

РАВНОВЕЛИКИЕ ФИГУРЫ
S = 8 кв.ед.

Найдите длины сторон представленных прямоугольников и их площади. Запишите полученные результаты в таблицу.

S = a·b
Формула площади прямоугольника

А
В
С
D

SΔ= S :2

Согласны ли вы, что…
Равные фигуры имеют равные площади
Неравные фигуры имеют различные площади
Если фигуры равновеликие, то они равны
Если фигура состоит из двух частей, чтобы найти площадь всей фигуры, нужно сложить площади частей

08/18/2023
Площадь треугольника
S

08/18/2023
АС- основание
ВН- высота;
ВС- основание
АН1- высота

08/18/2023
Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.
Док-во: АВС= DСВ (по трем сторонам (СВ- общая, АВ= СД,
АС= ВД )) SАВС =SDСВ SАВС= ½ S ABCD, т.е. S =
= ½ АВ СН.
Теорема доказана.
Дано: АВС;
СН- высота;
АВ- основание.
Док-ть: S= ½ АВ СН.

08/18/2023
Следствие 1.
ВС- гипотенуза;
АВ и АС- катеты.
АВС- прямоугольный;
SАВС= ½ АВ АС.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

08/18/2023
Следствие 2.
Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.
ВН= В1Н1
S/S1= АС/А1С1

08/18/2023
Теорема. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.
Дано: АВС и А1В1С1; LА=L А1.
Док-ть: S/S1= АС АВ/А1С1 А1В1
Док-во: Наложим А1В1С1
на АВС,. АВС и АВ1С имеют общую высоту СН, S/SАВ1С1= АВ/ АВ1; АВ1С и АВ1С1 имеют общую высоту В1Н1,
S/SАВ1С1= АС/АС1;
S/SАВ1С1= АВ АС /АВ1 АС1 или
S/S1= АВ АС/А1В1 А1С1.

Площадь трапеции

А
В
С
К
М
Р
Дано: АВСК – трапеция
АК= а, ВС= в, ВМ = h
____________________
Доказать: S= 0,5h(а+в)
Теорема

Задача

Задача

Задача

Задача
В
А
С
К
М

Задача
А
В
С
К
М

Задача
А
В
С
К
М

Площади многоугольников.
а2
ав
0,5ав
аh
0,5аh
0,5d1d2
0,5h(а+в)

Cамостоятельная работа
Высота и основания трапеции относятся как 5:6:4. Найдите меньшее основание трапеции,если её площадь равна 88 см2 .
Высота трапеции равна меньшему основанию и в два раза меньше большего основания. Найдите высоту трапеции, если её площадь равна 54 см2 .

Теорема Пифагора
Пребудет вечной истина, как скоро
Её познает слабый человек!
И ныне теорема Пифагора
Верна, как и в его далёкий век.

Содержание
Формулировка теоремы
Доказательства теоремы
Значение теоремы Пифагора

Формулировка
теоремы
« Доказать, что квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах»
« Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах».
Во времена Пифагора теорема звучала так:
или

Современная формулировка
« В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».

Доказательства теоремы
Существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.д.).

Самое простое доказательство
Рассмотрим квадрат, показанный на рисунке.
Сторона квадрата равна a + c.
c
a

В одном случае (слева) квадрат разбит на квадрат со стороной b и четыре прямоугольных треугольника с катетами a и c.
a
c
a
c
В другом случае (справа) квадрат разбит на два квадрата со сторонами a и c и четыре прямоугольных треугольника с катетами a и c.
a
c
Таким образом, получаем, что площадь квадрата со стороной b равна сумме площадей квадратов со сторонами a и c.

Доказательство Евклида
Дано:
ABC-прямоугольный треугольник
Доказать:
SABDE=SACFG+SBCHI

Доказательство:
Пусть ABDE-квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника ABC, а ACFG и BCHI-квадраты, построенные на его катетах. Опустим из вершины C прямого угла перпендикуляр CP на гипотенузу и продолжим его до пересечения со стороной DE квадрата ABDE в точке Q; соединим точки C и E, B и G.

Очевидно, что углы CAE=GAB(=A+90°); отсюда следует, что треугольники ACE и AGB(закрашенные на рисунке) равны между собой (по двум сторонам и углу, заключённому между ними). Сравним далее треугольник ACE и прямоугольник PQEA; они имеют общее основание AE и высоту AP, опущенную на это основание, следовательно
SPQEA=2SACE
Точно так же квадрат FCAG и треугольник BAG имеют общее основание GA и высоту AC; значит, SFCAG=2SGAB
Отсюда и из равенства треугольников ACE и GBA вытекает равновеликость прямоугольника QPBD и квадрата CFGA; аналогично доказывается и равновеликость прямоугольника QPAE и квадрата CHIB. А отсюда, следует, что квадрат ABDE равновелик сумме квадратов ACFG и BCHI, т.е. теорема Пифагора.

Алгебраическое доказательство
Дано: ABC-прямоугольный треугольник
Доказать: AB2=AC2+BC2
Доказательство:
1) Проведем высоту CD из вершины прямого угла С.
2) По определению косинуса угла соsА=AD/AC=AC/AB, отсюда следует
AB*AD=AC2.
3) Аналогично соsВ=BD/BC=BC/AB, значит
AB*BD=BC2.
4) Сложив полученные равенства почленно, получим:
AC2+BC2=АВ*(AD + DB)
AB2=AC2+BC2. Что и требовалось доказать.

Геометрическое доказательство
Дано: ABC-прямоугольный треугольник
Доказать: BC2=AB2+AC2
Доказательство:
1) Построим отрезок CD равный отрезку AB на продолжении катета AC прямоугольного треугольника ABC. Затем опустим перпендикуляр ED к отрезку AD, равный отрезку AC, соединим точки B и E.
2) Площадь фигуры ABED можно найти, если рассматривать её как сумму площадей трёх треугольников:
SABED=2*AB*AC/2+BC2/2
3) Фигура ABED является трапецией, значит, её площадь равна:
SABED= (DE+AB)*AD/2.
4) Если приравнять левые части найденных выражений, то получим:
AB*AC+BC2/2=(DE+AB)(CD+AC)/2
AB*AC+BC2/2= (AC+AB)2/2
AB*AC+BC2/2= AC2/2+AB2/2+AB*AC
BC2=AB2+AC2.
Это доказательство было опубликовано в 1882 году Гэрфилдом.

Построим треугольник ABC с прямым углом С.
Начало доказательства
Построим BF=CB, BF⊥CB
Построим BE=AB, BE⊥AB
Построим AD=AC, AD⊥AC
Точки F, C, D принадлежат одной прямой.

Что и требовалось доказать!
Как мы видим, четырёхугольники ADFB и ACBE равновелики, т.к. ABF=ЕCB. Треугольники ADF и ACE равновелики.
Отнимем от обоих равновеликих четырёхугольников общий для них треугольник ABC, получим:
1/2а2+1/2b 2=1/2с 2
Соответственно:
а2+ b 2 =с 2

Начало доказательства
Площадь данного прямоугольника с одной стороны равна 0.5ab, с другой 0.5pr, где p – полупериметр треугольника, r – радиус вписанной в него окружности (r=0.5(a+b-c)).

Что и требовалось доказать!
Имеем:
0.5ab=0.5pr=0.5(a+b+c)*0.5(a+b-c)
Отсюда следует, что с2= а2+b2

Значение теоремы Пифагора
Теорема Пифагора- это одна из самых важных теорем геометрии. Значение её состоит в том, что из неё или с её помощью можно вывести большинство теорем геометрии.

Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его Dons asinorum - ослиный мост, или elefuga - бегство «убогих», так как некоторые «убогие» ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому «ослами», были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее также «ветряной мельницей», составляли стихи, вроде «Пифагоровы штаны на все стороны равны», рисовали карикатуры.

Здесь показано на сколько больше доказательств стало в наше время

Подведём итоги
Доказательств теоремы Пифагора очень много и они открываются до сих пор ,так что не унывайте ,может вы найдёте ещё доказательство :)

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
ПРИМЕНЕНИЕ

ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ
Строительство
Астрономия
Мобильная связь

Мобильная связь
Какую наибольшую высоту должна иметь антенна мобильного оператора, чтобы передачу можно было принимать в радиусе R=200 км? (радиус Земли равен 6380 км.)
Решение:
Пусть AB= x, BC=R=200 км, OC= r =6380 км.
OB=OA+AB
OB=r + x.
Используя теорему Пифагора, получим Ответ: 2,3 км.

Строительство
Окна
Крыши
Молниеотводы

Молниеотвод
Известно, что молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние которых от его основания не превышает его удвоенной высоты. Необходимо определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту.
Решение:
По теореме Пифагора h2≥ a2+b2, значит h≥(a2+b2)1/2.

Окна
В зданиях готического и романского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Способ построения его очень прост: Из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны
ширине окна (b) для наружных дуг
половине ширины, (b/2) для внутренних дуг
Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Т. к. она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между
этими окружностями, т. е. b/2 и, следовательно,
радиус равен b/4. А тогда становится ясным и
положение ее центра.

В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке. Если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны R = b / 2 и r = b / 4. Радиус p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рис. пунктиром. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна b/4+p, один катет равен b/4, а другой b/2-p. По теореме Пифагора имеем:
(b/4+p)=( b/4)+( b/4-p)
или
b/16+ bp/2+p=b/16+b/4-bp+p,
откуда
bp/2=b/4-bp.
Разделив на b и приводя подобные члены, получим:
(3/2)p=b/4, p=b/6.

Астрономия
На этом рисунке показаны точки A и B и путь светового луча от A к B и обратно. Путь луча показан изогнутой стрелкой для наглядности, на самом деле, световой луч - прямой.
Какой путь проходит луч? Поскольку свет идет туда и обратно одинаковый путь, спросим сразу: чему равно расстояние между точками?

На этом рисунке показан путь светового луча только с другой точки зрения, например из космического корабля. Предположим, что корабль движется влево. Тогда две точки, между которыми движется световой луч, станут двигаться вправо с той же скоростью. Причем, в то время, пока луч пробегает свой путь, исходная точка A смещается и луч возвращается уже в новую точку C.

В конце девятнадцатого века высказывались разнообразные предположения о существовании обитателей Марса подобных человеку. В шутку, хотя и не совсем безосновательно , было решено передать обитателям Марса сигнал в виде теоремы Пифагора. Неизвестно, как это сделать; но для всех очевидно, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.