Полуквантовое кодирование в компьютерных многомерных комбинаторно-топологических моделях.

Геометрико-топологические модели в современной науке.
Модели-посредник между теоретическими построениями и компьютерными методами расчетов.
Решетки, сетки, симплициальные и кубические комплексы, многообразия…
Многомерность и комбинаторная сущность квантовых систем ? как это отразится на суперкомпьютерах следующих поколений?

Кубические структуры.
Многие комбинаторные структуры вложимы в кубические комплексы.
Комплексы изучаются в пространствах Rnc (вершины- целые точки Zn).

Глобальная модель климата (MIT gcm) и корректирующие коды.
Кубическая сфера с конформной решеткой – база всех климатических расчетов.
Хэммингово расстояние между кодами- вершинами n-куба – базовая мера в теории корректирующих кодов.

Кубические комплексы в In (Rn).
0-грани- вершины,
1-грани- ребра,
2-грани-квадраты
3-грани-кубы
4-грани и т.д.
f(k)=Cnk 2n-k;

Пирамида Паскаля и k-мерные грани n-куба.
Пирамида Паскаля-рекурсивная процедура в трехмерной решетке.
Сумма чисел вдоль ребер (y=k) в плоскости х+y+z=n равна числу k-граней в n-кубе.

Биекция: множество всех n-разрядных троичных кодов??множество всех граней n-куба.
E=e1,e2,…ei,…en; ? Rn;
D=d1,d2,…di,…dn; di?{0,1,2};
E?D; ei?di;
021221?e2xe4xe5 транс. в вершину 001001; трехмерная грань(куб) в шестимерном кубе.

Грани в I3.
Все грани в I3- все трехразрядныетроичные коды.
Алфавит {0,1,2}
222-весь I3.

Кубанты
Кубант в n-мерном евклидовом простанстве –троичный n-разрядный код, отражающий размерность грани и ее положение в n-мерном единичном кубе.

Кубанты 022200 и 022211 в I6.

Комплексы из кубантов в I6.
a).Комплекс из 3-х кубантов (3-куб,3-куб,4-куб).
b).Комплекс из 9-и кубантов (8 квадратов и 3-куб).

Умножение (пересечение) кубантов.
Умножение кубантов- поразрядная операция над словами, задаваемая данной таблицей.
Ø-пустое множество.

Кубанты и псевдокубанты( с Ø) образуют полугруппу с единицей (моноид).
Расширение алфавита ?{Ø,0,1,2}.
Все четверичные n-разрядные слова (кубанты и псевдокубанты) образуют полугруппу по умножению.
Кубант х кубант=кубант или п/кубант. П/кубант х кубант=п/кубант.
Единица моноида-кубант 222…2.

Машинное представление Ø?0;0?1;1?2;2?3;
Таблица поразрядного умножения элементов моноида при машинном представлении.

Свойства произведения кубантов.
П(D1,D2)=D3;
ω(D3) = число разрядов с Ø.
Если ω(D3)=0,то D3–кубант-пересечение.
Если ω(D3)= r>0, то Lmin(D1,D2)=r; (минимальный путь по ребрам n-куба-обобщение метрики Хэмминга для двоичных кодов).
Структура комплекса полностью определяется перемножением кубантов.

Матрица парных произведений.
D1=112202; D2=121122; D3=122211;
D4=120122; D5=002212;
112202 111102 1112Ø1 110102 ØØ22Ø
121122 121111 12Ø122 Ø01112
122211 120111 Ø02211
120122 Ø00112
002212
D1,D2,D3,D4-образуют цикл (общие ребра, D5 отстоит на Lmin=1 от D2,D3,D4 и на Lmin=3 от D1;
Обобщение матрицы смежностей для графов.

Хаусдорфова метрика на кубантах (обобщение метрики Хэмминга)
рН(D1,D2)=max{max minL(D1?D2),max minL(D2?D1)};
Хаусдорфово сжатие D1/D2=D1* и D2/D1=D2*;Cамое большое L из самых коротких путей.Сжатие-поразрядная операция.
022211 112222
112200 002211
Ø122ØØ ØØ2211 ? max{ 3,2}=3 ? pH=3;

Полная матрица Н-метрики для кубантов I3.
Обозначения:
Черный-3
Тем.сер.-2
Свет.сер.-1
Белый-0

Структура матрицы Н-метрики для кубантов In.
Матрица 3nx3n
Миноры Н(k,m) k x m, где k,m- размерности граней.
r = [s,t]-диапазон значений rH в миноре.

Распределения значений Н-метрики по размерностям граней при n?∞.
Ассиметрия распределений.
r=0 ? 3n;
r=n ? 4n-2n-1;

Панельное топологическое строительство. Бутылка Клейна в 75 байт.
Всех комплексов из гиперграней 64-для хранения номера комплекса -один байт памяти.

Полиморфизм кубантов (четверичного кодирования).
Cлово
Число
Множество точек Rn.
Геометрическая фигура
Часть топологического комплекса.
Элемент алгебраической структуры (моноид).
Результат одной операции содержит информацию о связности, мин пути, размерности пересечения, положении внутри n-куба.
Кубанты-гиперметрическое пространство.

Кубанты и супервычисления.
Поразрядные операции над четверичными словами практически неограниченной длины, равной размерности исследуемого пространства.
Перевод вычисления метрики Хаусдорфа для кубантов из задач сложности 2n в задачи сложности n2.
Хранение в табличном виде (заранее рассчитанных) n-мерных комплексов гиперграней (нумеративный подход).
Исследования асимптотического поведения гиперрешеток (10d-11d) в интересах теоретической физики.
Одна из проблем-значительное расширение оперативной памяти суперкомпьютера.Для 10d рабочее поле со стороной 100 требует память объемом 108 терабайт.

Инструментальная система «Топологический процессор».

Вместо выводов.
Связка алгебраических геометрии и топологии, комбинаторики, дифференциальных уравнений со структурой будущих суперкомпьютеров– одно из прорывных комплексных направлений не только в математике, но и в целом в науке.
Отечественная математическая школа в этой области - одна из передовых в мире.
Успех в этой области обеспечения суперкомпьютеров – шаг к занятию достойного места в международной научной кооперации.

Приложение.Многомерные построения k-путей.

Многомерные построения k-путей

Н-метрика в k-путях.

Многомерные построения.
Процесс расслоения
Процесс слияния
Следы процесса на гранях пространства-полиэдра

Случайная динамика в n-кубе.

3-пути (траектории) события (встречи).

Вероятная история события.