Презентация на тему Кодирование вещественных чисел

Для представления вещественных чисел (конечных и бесконечных десятичных дробей) используют формат с плавающей точкой (запятой).
Форма с плавающей точкой использует представление вещественного числа R в виде произведения мантиссы m на основание системы счисления р в некоторой целой степени n, которую называют порядком:
R = m * рn
m – мантисса,
n – порядок,
p – основание системы
Кодирование вещественных чисел

Например, число 35,324 можно записать в таком виде: 0.35324х102
Здесь m=0.35324 — мантисса,
n=2 — порядок
Порядок указывает, на какое количество позиций и в каком направлении должна «переплыть», т.е. сместиться десятичная точка в мантиссе. Отсюда название «плавающая точка».
Однако справедливы и следующие равенства:
35,324 = 3,5324*101 = 0,0035324*104 = 3532,4*102 и т.п.
Кодирование вещественных чисел

Получается, что представление числа в форме с плавающей точкой неоднозначно?
Чтобы не было неоднозначности, в ЭВМ используют
нормализованное представление числа в форме с плавающей точкой
Кодирование вещественных чисел

Мантисса в нормализованном представлении должна удовлетворять условию:
0,1p ≤ m < 1p Иначе говоря, мантисса меньше единицы и первая значащая цифра — не ноль. Значит для рассмотренного числа нормализованным представлением будет:
35,324=0.35324 * 102
Кодирование вещественных чисел

Машинный
порядок
Пусть в памяти компьютера вещественное число представляется в форме с плавающей точкой в двоичной системе счисления (р=2) и занимает ячейку размером 4 байта. В ячейке должна содержаться следующая информация о числе: знак числа, порядок и значащие цифры мантиссы. Вот как эта информация располагается в ячейке:
Кодирование вещественных чисел

Машинный
порядок
В старшем бите 1-го байта хранится знак числа. В этом разряде 0 обозначает плюс, 1 — минус
Оставшиеся 7 бит первого байта содержат машинный порядок
В следующих трех байтах хранятся значащие цифры мантиссы
Кодирование вещественных чисел

Что такое машинный порядок?
В семи двоичных разрядах помещаются двоичные числа в диапазоне от 0000000 до 1111111. В десятичной системе это соответствует диапазону от 0 до 127. Всего 128 значений. Знак порядка в ячейке не хранится. Но порядок, очевидно, может быть как положительным так и отрицательным. Разумно эти 128 значений разделить поровну между положительными и отрицательными значениями порядка.
Кодирование вещественных чисел

В таком случае между машинным порядком и истинным (назовем его математическим) устанавливается следующее соответствие:
Если обозначить машинный порядок Мр, а математический — р, то связь между ними выразится такой формулой:
Мр = р + 64
Кодирование вещественных чисел

Итак, машинный порядок смещён относительно математического на 64 единицы и имеет только положительные значения. При выполнении вычислений с плавающей точкой процессор это смещение учитывает
В двоичной системе счисления смещение:
Мр2 = р2+100 00002
Кодирование вещественных чисел

Теперь мы можем записать внутреннее представление числа 35,324 в форме с плавающей точкой
1) Переведем его в двоичную систему счисления с 24 значащими цифрами
35,324= 100011,0101001011110001102
Кодирование вещественных чисел

2) Запишем в форме нормализованного двоичного числа с плавающей точкой:
0,100011010100101111000110*10110
Здесь мантисса, основание системы счисления (210=102) и порядок (610=1102)записаны в двоичной системе
Кодирование вещественных чисел

3) Вычислим машинный порядок
Мр2 = 110 + 100 0000 = 100 0110
4) Запишем представление числа в ячейке памяти
порядок
мантисса
Знак числа
Кодирование вещественных чисел

Число в форме с плавающей точкой занимает в памяти компьютера 4 байта (число обычной точности) или 8 байт (число двойной точности).
Мы рассмотрели пример представления числа 35,324 обычной точности
Кодирование вещественных чисел

Для того, чтобы получить внутреннее представление отрицательного числа
-35,324, достаточно в полученном выше коде заменить в разряде знака числа 0 на 1
Кодирование вещественных чисел

Представьте двоичное число -100,12 в четырёхбайтовом формате. Представьте число сначала в форме с плавающей запятой.
Задание:
Кодирование вещественных чисел

-100,12= -0,1001*211
Мантисса -0,1001
Порядок 11
Машинный порядок 11+100 0000=1000011
Решение:
Кодирование вещественных чисел