Презентация на тему Параллельность прямых и плоскостей

Содержание

Слайд 2

Аксиомы группы С.

Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой

Аксиомы группы С. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой
плоскости, и точки, не принадлежащие ей.


А

К

D

B

С

Слайд 3

Аксиомы группы С.

Если две различные плоскости имеют общую точку, то они

Аксиомы группы С. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они
пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

С

с

Слайд 4

Аксиомы группы С.

Если две различные прямые имеют общую точку, то через

Аксиомы группы С. Если две различные прямые имеют общую точку, то через
них можно провести плоскость, и притом только одну.

a

b

С

Слайд 5

Через любую прямую и не принадлежащую ей точку можно провести плоскость, и

Через любую прямую и не принадлежащую ей точку можно провести плоскость, и
притом только одну.


М

Следствия из аксиом

Т1

Слайд 6

Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит плоскости


А

В

Следствия

Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит плоскости 
из аксиом

Слайд 7

Через 3 точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и

Через 3 точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и
притом только одну.


М

А

В

Следствия из аксиом

Слайд 8

Через две ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ прямые проходит плоскость, и притом только одна.

к

Следствие из

Через две ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ прямые проходит плоскость, и притом только одна. к Следствие из Т1
Т1

Слайд 9

Вывод

Как в пространстве можно однозначно задать плоскость?

1. По трем точкам

2. По прямой

Вывод Как в пространстве можно однозначно задать плоскость? 1. По трем точкам
и не принадлежащей ей точке.

3. По двум пересекающимся прямым.

4. По двум параллельным прямым.

Слайд 10

Сколько существует способов задания плоскости?
Сколько плоскостей можно провести через выделенные элементы?

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Ответьте на

Сколько существует способов задания плоскости? Сколько плоскостей можно провести через выделенные элементы?
вопросы

Слайд 11

Нет

Да

Нет

Да

Нет

Да

Определите: верно, ли утверждение?

Нет Да Нет Да Нет Да Определите: верно, ли утверждение?

Слайд 12

Дано: АВСD-параллелограмм
А, В, С  α
Доказать: D  α

А

В

С

D



Дано: АВСD-параллелограмм А, В, С  α Доказать: D  α А


Доказательство:

А, В  АВ, С,D  СD,

АВ  СD
(по определению параллелограмма) 

АВ, СD  α 

D  α

Слайд 13

пересекаются

параллельны

а

а

а

b

b

b

скрещиваются

Лежат в одной плоскости

Не лежат в одной плоскости

Взаимное расположение прямых в пространстве.

пересекаются параллельны а а а b b b скрещиваются Лежат в одной

Слайд 14

Доказательство:

а

с

в1

в

β

α


В

1 случай. а, в, с α рассмотрен в планиметрии

Доказательство: а с в1 в β α  В 1 случай. а,

2 случай. а, в  α; а, с  β

1. Возьмем т.В, В  в

Через т.В и с проведем плоскость 

  α = в1

2. Если в1  β = Х,  Х  а, в1  α,
но Х  с, т.к. в1   , а т.к. а с  в1  β

3. в1  α, в1  а  в1  а  в1 = в (А параллельных прямых)

4.  в с

Теорема доказана.


Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны

Слайд 15

Теорема о параллельных прямых.

К

a

b

Дано: К  a

Доказать:
 ! b: К  b,

Теорема о параллельных прямых. К a b Дано: К  a Доказать:
b  a

Доказательство:

1.Проведем через прямую a и точку К плоскость α.

2.Проведем через т. К α прямую b, b a.(А планиметрии)

Единственность (от противного)

1.Пусть  b1: К  b1 , b1 a .Через прямые a и b1 можно провести плоскость α1.
2. a , К  α1;  α1 и α (Т о точке и прямой в пространстве).
3.  b = b1 (А параллельных прямых). Теорема доказана.

Слайд 16

Задание 1 Вставьте пропущенные слова
Единственную плоскость можно задать через три точки,

Задание 1 Вставьте пропущенные слова Единственную плоскость можно задать через три точки,
при этом они на одной прямой.
2) Если точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости.
3) Две различные плоскости могут иметь только одну общую
4) Прямые являются в пространстве, если они не пересекаются и в одной плоскости.
5) Если прямая a лежит в плоскости α, прямая b не лежит в плоскости α, но пересекает ее в точке
В

α, то прямые а и b

не лежат

две

прямую

параллельными

лежат

скрещивающиеся

Слайд 17

Задание 2 Определите: верно, ли утверждение?

Нет

Нет

Да

Да

Нет

Задание 2 Определите: верно, ли утверждение? Нет Нет Да Да Нет

Слайд 18

Задание 2 Определите: верно, ли утверждение?

Нет

Нет

Нет

Да

Задание 2 Определите: верно, ли утверждение? Нет Нет Нет Да

Слайд 19

Задание 3

Дано: ВС=АС,
СС1 АА1,
АА1=22 см
Найти: СС1

Решение:

АА1СС1,

АС = ВС

Задание 3 Дано: ВС=АС, СС1 АА1, АА1=22 см Найти: СС1 Решение: АА1СС1,
С1– середина А1В
(по т.Фалеса) 

С С1- средняя линия ∆АА1В 

С С1= 0,5АА1 = 11 см

Ответ: 11см.

Слайд 20

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

Слайд 21

Если прямая, не лежащая в данной плоскости,
параллельна какой-нибудь прямой,
лежащей в этой

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в
плоскости , то
она параллельна и самой плоскости.

Дано:

Доказать:

Слайд 22

1.Через прямые a и b проведем плоскость α

Пусть , ,

1.Через прямые a и b проведем плоскость α Пусть , , α
α

2. α  β = b

Если a  β = Х, то Х  b, это невозможно, т.к. α  b

 a  β

 a  β

Теорема доказана.

Слайд 23

Дано: а  α
а  β; β ∩ α = в
Доказать: а

Дано: а  α а  β; β ∩ α = в
 в

Доказательство:
а, в  β
Пусть в ∩ а, тогда а ∩ α,
что противоречит условию.
Значит в  а
Задание 2

α

β

а

в

Слайд 24

A

В

С

Плоскость проходит через сторону АС  АВС. Точки D и E -

A В С Плоскость проходит через сторону АС  АВС. Точки D
середины отрезков АВ и BC соответственно. Докажите, что DE  α

Доказательство:

1. Точки D и E - середины отрезков АВ и BC соответственно 

2. DE – средняя линия (по определению) 
DE АС (по свойству)

 DE  α ( по признаку параллельности прямой и плоскости)

Слайд 25

Расположение плоскостей в пространстве.

α  β

α и β совпадают

α  β

Расположение плоскостей в пространстве. α  β α и β совпадают α  β

Слайд 26

Признак параллельности двух плоскостей.

Если две пересекающиеся прямые одной
плоскости соответственно параллельны двум

Признак параллельности двух плоскостей. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны

пересекающимся прямым другой плоскости, то эти
плоскости параллельны.

Дано: а b = M, a , b .
a₁ b₁, a₁ , b₁ . a  a₁, b  b₁.

Доказать:  



а

а₁

b

b₁

M

c

Доказательство:

Тогда а  , а  ,    = с, значит а  с.
2. b  , b  ,    = с, значит b  с.
3. Имеем, что через точку М проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, чего быть на может.
Значит    .

1. Пусть    = с.

Слайд 27

Теорема

Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, причём единственную.

β

а1


А

α

плоскость

Теорема Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, причём
α,

в1

в

а

Доказать:

Доказательство.

Дано:

точка А вне плоскости α.

существует плоскость β║α, проходящая через точку А

1. В плоскости α проведём прямые а∩в.

Через точку А проведём

а1║а

и в1║в.

По признаку параллельности плоскостей прямые а1 и в1 задают плоскость β║α.

Существование плоскости β доказано.

Слайд 28

β


А

α

Докажем единственность плоскости β методом от противного.


С


В

в

с

β1


Допустим, что существует плоскость β1,

β • А α Докажем единственность плоскости β методом от противного. •
которая проходит через т. А и β1  α.

Отметим в плоскости β1 т. С β.

Отметим произвольную т. В  α.

Через точки А, В и С проведем γ.

γ ∩ α = в,

γ ∩ β1 = с.

γ ∩ β = а,

а

а и с не пересекают плоскость α,

значит они не пересекают прямую в,

 а  в и с  в

Получили, что через т. А проходят две прямые, параллельные прямой в, чего быть не может.

 наше предположение ложное.

Единственность β доказана.

Слайд 29

Если две параллельные плоскости
пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Свойство

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. Свойство
параллельных плоскостей.

Дано:
α  β, α   = a
β   = b

Доказать: a  b

Доказательство:

1. a  , b  

2. Пусть a  b,

тогда a  b = М

3. M  α, M  β

 α  β = с (А2)

Получили противоречие с условием.

Значит a  b ч. т.д.

Слайд 30

Отрезки параллельных прямых,
заключенные между параллельными
плоскостями, равны.

Свойство параллельных плоскостей.

Доказать: АВ =

Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны. Свойство параллельных плоскостей. Доказать:
СD

Дано:
α  β, АВ СD
АВ  α = А, АВ  β = В,
СD  α = С, СD  β = D

Доказательство:

1. Через АВ СD проведем 

2. α β, α   = a, β   = b

3.  АС В D,

4. АВ СD (как отрезки парал. прямых)

5.  АВСД – параллелограмм (по опр.)

 АВ = СD ( по свойству параллелограмма)

Слайд 31

1. если плоскости не пересекаются, то они параллельны.
2. плоскости параллельны, если прямая

1. если плоскости не пересекаются, то они параллельны. 2. плоскости параллельны, если
лежащая в
одной плоскости, параллельна другой плоскости?
3. если две прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны двум прямым другой плоскости,
то эти плоскости параллельны?
4. если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она
перпендикулярна и другой плоскости.
5. прямые, по которым две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, параллельны.
6. Если прямая пересекает одну из двух плоскостей, то
она пересекает и другую.
7. Две плоскости, параллельные третьей, параллельны.
8. Отрезки прямых, заключенные между
параллельными плоскостями, равны.

Определите: верно, ли утверждение?

ДА

НЕТ

ДА

НЕТ

ДА

НЕТ

НЕТ

ДА

Слайд 32

Через данную точку А провести плоскость, параллельную данной плоскости α, не

Через данную точку А провести плоскость, параллельную данной плоскости α, не проходящей
проходящей через точку.

α

β

А

Решение.

1. В плоскости α возьмем т. В.

2. Проведем прямые ВС и ВD.

В


С1

D1

D

С

3. Построим вспомогательную плоскость через точку А и прямую ВD, в ней проведем прямую АD1 ВD.

4. Аналогично построим вспомогательную плоскость через точку А и прямую ВС, в ней проведем прямую АС1 ВС.


5. Через прямые АD1 и АС1 проведем плоскость β