Презентация на тему Перпендикулярные прямые в пространстве

Слайд 2

Модель куба.

D1

В

А1

А

D

С1

С

В1

Как называются
прямые АВ и ВС?

Найдите угол между
прямыми АА1

Модель куба. D1 В А1 А D С1 С В1 Как называются
и DC;
ВВ1 и АD.

В пространстве
перпендикулярные прямые
могут пересекаться
и могут скрещиваться.

Слайд 3

Рассмотрим прямые АА1, СС1 и DC.

D1

В

А1

А

D

С1

С

В1

АА1 ‌|| ‌ СС1 ; DC СС1

АА1

Рассмотрим прямые АА1, СС1 и DC. D1 В А1 А D С1
DC
Если одна из параллельных
прямых перпендикулярна
к третьей прямой, то и другая
прямая перпендикулярна
к этой прямой.

Слайд 4

Лемма Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к этой прямой, то и

Лемма Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к этой прямой, то
другая прямая перпендикулярна к этой прямой


Дано: а ⃦b и а ⊥ с. Доказать: b ⊥ c.
Доказательство: Через произвольную точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведём прямые а и с. Т.к. а ⊥с, то ∠АМС =90° Т.к. а ⃦b , а ⃦ МА, то b ⃦ МА. Итак, b ⃦ МА, с ⃦ МС,
∠ АМС = 90°, т. е. b ⊥ c. Лемма доказана.

Слайд 5

Найдите угол между прямой АА1 и прямыми плоскости (АВС): АВ, АD, АС, ВD,

Найдите угол между прямой АА1 и прямыми плоскости (АВС): АВ, АD, АС,
МN.

D1

В

А1

А

D

С1

С

В1

N

М

900

900

900

900

900

Прямая называется
перпендикулярной к плоскости,
если она перпендикулярна к
любой прямой, лежащей
в этой плоскости.

Слайд 6

Теорема: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая

Теорема: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая
прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Дано: прямая а параллельна прямой а1 и
перпендикулярна плоскости α.
Доказать: а1 α

а

а1

х

Слайд 7

Теорема: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и

Теорема: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и
другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.


Дано: а ║а1 , а ⊥ α.
Доказать: а 1║ α
Доказательство: Проведем какую-нибудь прямую х в плоскости α. Так как а перпендикулярна α, то а перпендикулярна х. По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей а1 перпендикулярна х. Таким образом, прямая а1 перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости α, т.е. а1 перпендикулярна α. Теорема доказана.

Слайд 8

а

b

b1

Обратная теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

M

c

а b b1 Обратная теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны. M c

Слайд 9

Теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Дано: a ⊥α,b

Теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны. Дано: a
⊥α (а)
Доказать : a ║ b .
Доказательство:
Через какую-нибудь точку M прямой b проведем прямую b1, параллельную прямой a. По предыдущей теореме b1 ⊥α. Докажем ,что прямая b1 совпадает с прямой b .Тем самым будет доказано ,что a ║ b .Допустим ,что прямые b и b1 не совпадают .Тогда в плоскости β,содержащей прямые b и b1, через точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой c ,по которой пересекаются плоскости α и β (б).Но это невозможно, следовательно, a║b. Теорема доказана.