Прикладные задачи на экстремумы

Введение.
В мире не происходит ничего, в чем не был бы виден смысл какого-нибудь максимума или минимума. Л. Эйлер.

Введение.
Решая некоторые задачи, я встретил такие понятия, как «наибольшее значение», «наименьшее значение», «выгодное», «наилучшее», и меня заинтересовало решение таких задач. Оказывается, что в математике исследование задач на максимум и минимум началось очень давно – двадцать пять веков назад. Долгое время к задачам на отыскание экстремумов (с лат. «экстремум» – «крайний») не было единых подходов.

Введение.
Но примерно триста лет назад – были созданы первые общие методы решения и исследования задач на экстремумы. Тогда же выяснилось, что некоторые специальные задачи оптимизации играют очень важную роль в естествознании. Задачи на максимум и минимум на протяжении всей истории математики играли важную роль в развитии этой науки.

Введение.
За всё это время накопилось большое число красивых, важных, ярких и интересных задач в геометрии алгебре и других науках. В решении конкретных задач принимали участие крупнейшие учёные прошлых эпох: Евклид, Архимед, Аполлоний, Герон, Торричелли, Иоганн и Якоб Бернулли, Исаак Ньютон и многие другие. Решение конкретных задач стимулировало развитие теории, и в итоге были выработаны приёмы, позволяющие единым методом решать задачи самой разнообразной природы.

Введение.
В алгебре экстремальные задачи встречаются в темах: «Линейная функция», «Рациональные дроби», «Неравенства», «Системы линейных уравнений и неравенств», «Квадратичная функция», «Последовательности и арифметическая прогрессия». На примере нескольких задач я расскажу о нахождении наибольшего и наименьшего значения в темах «Линейная функция», «Системы линейных неравенств и уравнений», «Рациональные дроби», «Квадратичная функция» и «Геометрия».

Линейная функция.
Наиболее простые, но не менее интересные задачи на экстремумы встречаются в теме «Линейная функция». Вот одна из них:
Имеются ящики, в которые нужно упаковать 78 самоваров. Одни ящики вмещают 3 самовара, другие – 5 самоваров. Какое наименьшее количество ящиков нужно использовать, чтобы упаковать все самовары (недогрузка не допускается)?

Линейная функция.
Решение: Обозначим количество одних ящиков через х, а других – через у. Тогда условие задачи даёт неопределённое уравнение вида 3х+5у=78. Пары чисел (26; 0), (21; 3), (16;6), (11; 9), (6; 12), (1; 15) являются решениями данного уравнения. (1;15) – оптимальное решение задачи.
Ответ: нужно использовать 16 ящиков.

Системы линейных уравнений и неравенств.
На соревнованиях каждый стрелок делал 10 выстрелов. За каждое попадание он получал 5 очков, за каждый промах снималось 2 очка. Победителем считался тот, кто набрал не менее 30 очков. Сколько раз стрелок должен был попасть в мишень, чтобы быть в числе победителей?

Системы линейных уравнений и неравенств.
Решение: Обозначив число попаданий через х, число промахов – через у, получим неравенство 5х-2у≥30. Составим систему 5х-2у≥30, 5х-20+2х≥30, х>7, х+у=10; у=10-х; у<3.
Решив систему получаем, что х={8,9,10}; y={2,1,0}. (8;2)–оптимальное решение.
Ответ: наименьшее число попаданий – 8.

Рациональные дроби.
На автомобиле новые шины. Шина на заднем колесе выдерживает пробег в 24000 км, а шина на переднем колесе– в16000 км. Какой максимальный путь можно совершить на этих шинах?
Решение: Износ шины на заднем колесе будет равен 1/16000 км, а износ шины на переднем колесе – 1/24000 км. Износ шин на обоих колёсах равен:1/16000+1/24000=1/9600. Максимальный путь равен 1/(1/9600)∙2=19200 (км).

Квадратичная функция.
А вот геометрическая задача на составле-ние квадратичной функции: В прямоугольный треугольник с гипотенузой 16 см и углом 600 вписан прямоугольник, основание которого лежит на гипотенузе. Каковы должны быть размеры прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

Квадратичная функция.
Решение: AB=16 см. NК:КA=tg600=√3. По свойству пропорции получаем: КА=х√3/3. Треугольник АВС подобен треугольнику МВL по двум углам. Составим отношение между сторонами треугольников: ВL:ВС=МL:АС. По теореме Пифагора ВС=8√3. Находим, что ВL=х√3. КL=16-4х√3:3. Площадь прямоугольника находим по формуле: S=x(16-4√3x/3)=-4√3х2/3+16х=-4√3:3(х-2√3)2 +16√3. Площадь будет наибольшей при х=2√3. Значит, КL=16(4∙2√3∙√3):3=8(см). Ответ: 2√3см и 8см.

Метод оценки.
Некоторые задачи на экстремумы решаются методом оценки. В методе оценки следует коснуться неравенства Коши для нескольких переменных:
√а1а2…аn≤(а1+а2+…+аn)/n.
На одном из предприятий стоимость х деталей, изготовленных рабочим сверхурочно, определяется по формуле у=0,1х2+0,5х+2. Определите количество деталей, при котором себестоимость одной детали была бы наименьшей.

Метод оценки.
Решение: Найдём среднее арифметическое для 0,1х2, 0,5х и 2: (0,1х2+0,5х+2)/х=0,5+0,1х+2/х. Из трёх величин одна постоянная (0,5), а две другие – переменные. Среднее геометрическое для переменных 0,1х и 2/х равно √0,2. Используя неравенство Коши для двух переменных получаем: 0,5+(2/х+0,1х)≥0,5+2√0,8; 0,5+(2/х+0,1х)≥0,5+√0,8. Левая часть неравенства принимает наименьшее значение равное 0,5+√0,8 .

Метод оценки.
Решаем уравнение 0,1х2-√0,8х+2=0; D=0,8-0,8=0; х=√0,8/0,2=√20. Но так как х – это количество деталей, то х=4 или х=5.
Ответ: 4 или 5 деталей.

Геометрия.
Основу задач по геометрии на максимум и минимум составляют задачи на преобразование плоскости. Основной задачей является старинная задача, написанная в I веке до н. э. Вот как она звучит:
Даны две точки А и В по одну сторону от прямой ℓ. Требуется найти на ℓ такую точку D, чтобы сумма расстояний от А до D и от В до D была наименьшей.

Геометрия.
В
В1
А
D
D`
ℓ

Геометрия.
Решение: Пусть точка В1 – точка, симметричная точке В относительно прямой ℓ. Соединим А с В1. Тогда точка D пересечения АВ1 с прямой ℓ – искомая. Действительно, для любой точки D`, отличной от D, имеет место неравенство: AD`+ D`B1>AB1 (т.к. в треугольнике сумма двух сторон больше третьей стороны); AD`+D`B>AD+DB.