Признаки параллелограмма

Признак 1. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
С
В
D
A
2
1
4
3
Дано:
АВСD – четырехугольник
AB l l CD, AB = CD
Доказать:
АВСD - параллелограмм
Доказательство:
рассмотрим ∆ АВС и ∆ADC,
AC - общая, AB = CD (по условию)
1 = 2 (как накрест лежащие углы)
∆ АВС = ∆ ADC
(по 1-му признаку
равенства треуг.)
3 = 4
BC l l AD
АВСD - параллелограмм

С
В
D
A
2
1
4
3
Повторите доказательство теоремы самостоятельно!

Решите задачу. В параллелограмме ABCD точки
A₁, B₁, C₁, D₁ - середины отрезков OA, OB, OC, OD
A
B
C
D
Докажите, что четырехугольник A₁B₁C₁D₁ - параллелограмм
O
A₁
B₁
C₁
D₁

Признак 2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
D
С
В
А
1
2
Дано:
АВСD – четырехугольник
Доказать:
АВСD - параллелограмм
Доказательство:
рассмотрим ∆ АВС и ∆ADC,
AC - общая, AB = CD, BC = AD (по условию)
∆ АВС = ∆ ADC
(по 3-му признаку
равенства треуг.)
1 = 2
AB l l CD и AB = CD
АВСD - параллелограмм
(по 1-му признаку параллелогр.)
AB = CD, BC = AD

D
С
В
А
1
2
Повторите доказательство теоремы самостоятельно!

Решите задачу. В четырехугольнике ABCD  1=  2, ВС = АD. Докажите, что ABCD – параллелограмм.
A
B
C
D
1
2

АВ = СD и 3 = 4
АО = ОС и ВО = ОD (по условию)
1= 2 (как вертикальные)
Признак 3. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.
В
А
С
D
O
3
1
Дано: АВСD - четырехугольник
ВD AC = O,
Доказать:
ABCD - параллелограмм
Доказательство:
рассмотрим ∆ АОВ и ∆СОD,
АВ l l СD( по призн. парал. прямых)
∆ АОВ = ∆СОD
(по 1-му признаку рав. треуг.)
АО = ОС и ВО = ОD
2
4
Итак, АВ = СD и АВ l l СD
ABCD – параллелограмм
(по 1 призн. параллелогр.)

В
А
С
D
O
3
1
2
4
Повторите доказательство теоремы самостоятельно!

Решите задачу. В четырехугольнике ABCD  1=  2, ОА =ОС. Докажите, что ABCD – параллелограмм.
A
B
C
D
1
2