Производная и ее приложения.

Приращение функции
1) Сформулируйте определения приращения аргумента и приращения функции в данной точке x0.
2) От чего зависит приращение функции при каждом фиксированном x0?
3) Что показывает на графике отношение
?

Физический смысл производной, рассмотрим падение тела с некоторой высоты
рассмотрим промежуток Δt от момента t0 до t = t0 + Δt. Тогда ΔS(t0) = S(t0 + Δt) – S(t0) = ... = gt0Δt + g(Δt)2, то есть, при фиксированном t0 ΔS(t0) зависит только от Δt ! Для рассматриваемой функции: Δt – приращение аргумента в точке t0; ΔS(t0) – приращение функции в этой точке. Средняя скорость
движения на [t0; t0 + Δt] равна: = gt0 + gΔt = V0 + gΔt. Пусть Δt → 0, тогда
Таким образом, для каждого фиксированного
момента времени t0
–равен некоторому числу, которое называется мгновенной
скоростью падения тела в момент времени t0!

Определение
Производной функции в точке x0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю.

Определения.
1) Функция называется дифференцируемой в точке x0, если ∃f’(x0).
2) Функция называется дифференцируемой на множестве I, если она дифференцируема в каждой точке из этого множества.
Пусть функция y = f(x) дифференцируема на I. Тогда ∀x0∈I ∃ f’(x0). Соответствие {x0} → {f’(x0)} определяет новую функцию, которая называется производной функции y = f(x) и обозначается f’(x).
В чем различие f’(x) и f’(x0)? [функция и число]. Операция вычисления производной функции называется дифференцированием функции.

Вычисление производных по определению
1) f(x) = C.
Δf(x0) = f(x0 + Δx) – f(x0) = C – C = 0;
. Таким образом,.
(С)’ = 0
2) f(x) = kx + b.
Δf(x0) = f(x0 + Δx) – f(x0) = k(x0 + Δx) – kx0 = kΔx;
. Таким образом, . (kx + b)’ = k

Алгоритм нахождения производной:
Зафиксировать значение х0 и найти f(x0)
Дать аргументу х0 приращение Δ х ,и найти f(х0+Δ х)
Найти приращение Δ у= f(х0+Δ х) - f(х0)
Составить отношение Δ у/ Δ х
Вычислить

Вычислить по определению производные
3) f(x) = ax2 + bx + c
4) f(x) = . f’(0) – не существует
(ax2 + bx + c)’ = 2ax + b
(
)’ =
.

Рассмотрим функцию f(x) = |x| и ее график
Докажем по определению, что

А) Пусть x0 > 0, тогда выберем Δx так, чтобы
x0 + Δx > 0. Δf(x0) = |x0 + Δx| – |x0| = Δx;
.
Б) Пусть x0 < 0, тогда выберем Δx так, чтобы
x0 + Δx < 0. Аналогично получим, что .
В) Пусть x0 = 0, тогда Δf(x0) = |x0 + Δx| – |x0|=|Δx|. , не существует, поэтому
данная функция не дифференцируема в нуле.

F(x) = |x2 – 6x + 5|.
А) Постройте график функции.
Б) Найдите f’(2) и f’(6).
B) (по вариантам) Докажите, что в точках
x0 = 1 и x0 = 5 функция не дифференцируема

f’(2) = 2; f’(6) = 6
f’(2) = 2; f’(6) = 6
не существует, так как

не существует, так как