Простейшие задачи в координатах.

Координаты середины отрезка.
Дано: А(x1;y1) B(x2;y2) C–середина АВ.
Выразить: C (х; y), через А и В.
Доказательство:
Т.к. С – середина АВ, то ОС= 0,5(ОА+ОВ)
Координаты векторов ОС, ОА и ОВ равны координатам точек С, А и В: ОС {х; y} , OA {x1; y1} , OB {x2; y2}.
Тогда:
x=0.5(x1+x2) ; y=0.5(y1+y2).
Вывод. Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.

Вычисление длины вектора по его координатам.
y
A2 OA=a{x;y}
a А(x;y)
O A1 x
|а| = √ х2 + y2

Доказательство.
Отложим от начала координат вектор ОА = а и проведем через точку А перпендикуляры АА1 и АА2 к осям Ox и Oy. Координаты точки А равны координатам вектора ОА{x;y}. Поэтому ОА1=х, АА1= ОА2 = y. По теореме Пифагора:
ОА=√ОА1² +АА1²= √х²+y²
Но а = ОА = ОА, поэтому а = √x²+y², что и требовалось доказать.