Рациональные неравенства

Неравенства

Линейные неравенства
Линейным неравенством с одной переменной х называется неравенство вида ах + b › 0, где а≠0.
Решение неравенства – значение переменной х, которое обращает неравенство в верное числовое неравенство.
Множество частных решений называют общим решением.

Пример 1: Являются ли числа 3, -5 решением данного неравенства 4х + 5 < 0
При х = 3, 4∙3+5=17, 17>0
Значит х=3 не является решением данного неравенства
При х=-5, 4∙(-5)=-15, -15<0
Значит х=-5 является решением данного неравенства

Два неравенства f(х)
Правила
(преобразования неравенств, приводящие к равносильным неравенствам):
1. Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком (не меняя при этом знака неравенства)
Например: 3х + 5 < 7х
3х + 5 -7х < 0

2: а) обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, не меняя при этом знака неравенства.
б) если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же выражение, положительное при любых значениях переменной, и сохранить знак неравенства, то получится неравенство, равносильное данному.
Например: а)8х – 12 > 4х2 ( :4)
2х – 3 > х2
б)(2х + 1)(х2 + 2) < 0 ( ( х2 + 2))
(2х + 1) < 0

3.а) Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный ( < на >, > на <).
б) если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же выражение, отрицательное при всех значениях переменной, и изменить знак исходного неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.
Например: а) - 6х3 + 3х – 15 < 0 (: (-3))
2х3 – х + 5 > 0
б) (3х – 4 )(-х2 – 2) > 0 (: (-х2 – 2))
3х – 4 < 0

Решите неравенство: 5х + 3(2х – 1)>13х - 1
Решение: 5х + 6х – 3 >13х – 1
5х + 6х – 13х > 3 – 1
-2х > 2 (: (-2))
х < -1
\\\\\\\\\\\\\\\\\
Ответ: х < -1 или (-∞; -1)
-1

Квадратные неравенства
Неравенства вида
ах2 + bх + с > 0, где а ≠ 0, а,b,с - некоторые числа, называются квадратными.

Алгоритм применения графического метода:
1. Найти корни квадратного трехчлена ах2+bх+с, т.е. решить уравнение ах2+bх+с=0.
2.Отметить найденные значения на оси х в координатной плоскости.
3. Схематично построить график параболы.
4. Записать ответ в соответствии со знаком неравенства.
Частные случаи при D < 0:
а) а < 0, ах2 + bх + с ≥ 0 нет решений
ах2 + bх + с < 0 (-∞;+∞)
б) а > 0 ах2 + bх + с > 0 (-∞;+∞)
ах2 + bх + с ≤ 0 нет решений

Решите неравенство:
3х + 9 < 2х2
Ответ: х < -1,5; х > 3 или (-∞;-1,5)U(3;+∞).

Алгоритм выполнения метода интервалов:
1. Разложить на множители квадратный трехчлен, используя формулу ах2+bх+с = а(х-х1)(х-х2), где х1,х2- корни квадратного уравнения ах2+bх+с=0.
2. Отметить на числовой прямой корни х1 и х2.
3. Определить знак выражения а(х-х1)(х-х2) на каждом из получившихся промежутков.
4. Записать ответ, выбрав промежутки с соответствующим знаку неравенства знаком
(если знак неравенства <,то выбираем промежутки со знаком «-», если знак неравенства >, то выбираем промежутки со знаком «+»).

Решите неравенство: х2 – 6х + 8 > 0
Решение: Разложим квадратный трехчлен х2 – 6х + 8 на множители. Решим уравнение
х2 – 6х + 8 = 0
Д = 36 – 32 = 4, 4>0, два корня
х1,2 = (6 ± 2) : 2 х1 = 4, х2 = 2
х2 – 6х + 8 = (х – 2)(х - 4)
Отметим на числовой прямой корни трехчлена 2 и 4.Определим знаки выражения (х-2)(х-4) на каждом из промежутков.
+ 2 - 4 +
Ответ: х<2,х>4 или (-∞;2)U(4;+∞).