Решение логарифмических уравнений (урок с применением модульной технологии)

Цель: Научиться решать простейшие логарифмические уравнения с использованием определения логарифма, свойств логарифма
Указание учителя: Повторите изученный материал.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Логарифмов числа b по основанию а называется показатель степени с, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.
Показатель степени
loga b = c ас = b
основание число основание число
здесь а, b, с – некоторые числа, где а > 0 и а ≠ 1, b > 0
log 10 a = lg a - десятичный логарифм

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ:
При любом а > 0 (а ≠ 1) и любых положительных Х и У выполняются равенства:
log а 1 = 0
log а a = 1
log а х · у = log а х + log а у
log а х : у = log а х - log а у
log а хр = р · log а х
Логарифмические уравнения вида log а х = b решаются по определению логарифма
числа х = аb, причем х>0.
Научимся решать простейшие логарифмические уравнения в два этапа:
Логарифмические уравнения вида log а х = b .
Логарифмические уравнения с помощью свойств логарифмов
ОсновныеОсновные свойства логарифма

Этап № 1
Цель: научиться решать простейшие логарифмические уравнения
вида log а х = b.
Указания учителя: рассмотрим решение простейшего
логарифмического уравнения вида log а х = b решается по определению числа х = аb.
____________________________________________________________________________________
Пример № 1 : Решите уравнение log 1/6 (0,5 + х) = - 1
Решение
log 1/6 (0,5 + х) = - 1 Найдем Область Допустимых Значений
ОДЗ: 05 + х > 0 т.к. D(log а х) = R+, область определения:
функция принимает только положительные
значения
1 - 1
0,5 + х = ----- Запишем равенство выражающее определения
6 логарифма log а х = b, х = аb
0,5 + х = 6 Решая уравнение вспомним свойство степени
а - n = 1
аn
х = 6 – 0,5
х = 5,5 Проверим является ли число 5,5 корнем данного
уравнения. Подставим вместо х число 5,5 в ОДЗ.
ОДЗ: 0,5 + 5,5 >0; 6 >0 – верно
Ответ: 5,5

Самостоятельная работа № 1
Вариант 1
1.log 5 х = 4 1 балл 2.log 2 (5-х) = 3 2 балл
3.log ¼ (х - 0,5) = - 2 2 балла
Вариант 2
1.log 3 х = 2 1 балл
2.log 3 (х+2) = 3 2 балла
3.log ¼ (2х – 1) = - 1 2 балла
Указания учителя: проверьте свою работу у учителя или
консультантов. В оценочные листы внесите
баллы, набранные только за верно выполненные
задания.
Если вы получили: 1 балл, то вы находитесь на I уровне;
3 балла – на II уровне,
5 баллов – на III уровне.
Если количество набранных баллов не устраивает, то прорешайте
задание другого варианта, оцените работу и добавьте баллы в
графу «противоположный вариант». Подсчитайте итоговое
количество баллов, получите отметку.
Дополнительные задания оцениваются отдельно.

Этап № 2
Цель: научиться решать простейшие логарифмические уравнения с
помощью свойств логарифмов.
Указания учителя: Внимательно изучите данные ниже пояснения. Выполните
работу №2. Повторите свойства логарифма.
_________________________________________________________________________________________________________________________
Пример № 1 : Решите уравнение log 8 х + log 8 (х - 2) = 1
Решение
1. log 8 х + log 8 (х - 2) = 1 Найдем Область Допустимых Значений.
2. ОДЗ: х > 0 т.к. D(log а х) = R+, область определения:
х - 2 > 0 функция принимает только положительные значения
3. log 8 (х · (х - 2)) = 1 Воспользуемся свойством логарифма :
log а х + log а у = log а ху
4. х · (х - 2) = 81 Запишем равенство выражающее определения
логарифма log а х = b, х = аb
5. х 2 – 2х = 8 Раскроем скобки.
6. х 2 – 2х – 8 = 0 Переносим всё в одну часть; решаем квадратное
уравнение, используя формулу ах2 + вх + с = 0, Д= в2 – 4ас, х1,2 = (-в ± √Д): 2а
7. Д = (-2)2- 4·1·(-8)=4+32=36
х1,2 = (2±√36) :2
х1 = 4; х 2 = -2 Проверим является ли числа 4 и -2 корнями данного уравнения. Подставим
вместо х числа в ОДЗ.
8. ОДЗ: 4 >0- верно - 2 >0 – не верно
4-2 >0 –верно -2-2> 0 –не верно.
Ответ: 4.

Самостоятельная работа № 2
Вариант 1
1.log 2 (х-5) + log 2 (х + 2) = 3 2 бал.
2.lg (х-1) + lg (х + 1) = 0 2 бал.
3.log 3 (2х+1) - log 3 13 = 1 3 бал.
Вариант 2
1.log 3 (х-2) + log 3 (х + 2) = 2 2 бал.
2.lg (х+2) + lg (х - 2) = 0 2 бал.
3.log 2 (7х-4) - log 2 13 = 2 3 бал.
Указания учителя: проверьте свою работу у учителя или консультантов. В оценочные листы внесите баллы, набранные только за верно выполненные задания. Если вы получили:
2 балла, то вы находитесь на I уровне;
4 балла – на II уровне,
7 баллов – на III уровне.
Если количество набранных баллов не устраивает, то прорешайте задание другого варианта, оцените работу и добавьте баллы в графу «противоположный вариант». Подсчитайте итоговое количество баллов, получите отметку.
Дополнительные задания оцениваются отдельно.

Дополнительное задание
1. log 2 (2х-1) = 3
2. log 0,5 (3х-1) = - 3
3. log 3 (5х+3)= log 3 (7х + 5)
4. log 3 (4 - 2х) - log 3 2 = 2
5. lg (2-х) = 2 lg4 - lg2
Указания учителя : при выполнении дополнительного задания обратите внимание на свойствах логарифмов и определение логарифма.