Решение параметрических уравнений и неравенств с модулями

Способы решения
По определению
Исходя из геометрического смысла
По общей схеме
Использование специальных соотношений и свойств модуля

По определению

Исходя из геометрического смысла
– расстояние на числовой прямой от точки 0 до точки

Использование геометрического смысла модуля (при )
1.
2.
3.
4.

По общей схеме
Найти ОДЗ
Найти нули всех подмодульных функций
Отметить нули на ОДЗ и разбить ОДЗ на интервалы
Найти решение в каждом интервале ( и проверить, входит ли решение в этот интервал)

Использование специальных соотношений и свойств модуля
2.
3.
4.
5.
1.

6.
7.
8.
9.
1 свойство:
2 свойство:
3 свойство
4 свойство:
5 свойство:

6 свойство:
7 свойство:
8 свойство:
9 свойство:

Графические приемы решения задач с параметрами
Применение параллельного переноса
Применение поворота
Применение гомотетии и сжатия к прямой
Параметр как равноправная переменная на плоскости

Применение параллельного переноса
1. Сколько корней имеет уравнение
, в зависимости от значений параметра

Построим в одной системе координат
графики функций
и .

Ответ: при корней нет;
при или два корня;
при четыре корня;
при три корня.

2. Сколько корней имеет уравнение
, в зависимости от значений параметра ?

Построим в одной системе координат
графики функций и .

Ответ: при или корней нет;
при два корня;
при три корня;
при четыре корня.

3. При каких значениях параметра уравнение
имеет ровно три решения?

Ответ: при
или
.

4. Решите неравенство

Ответ: при нет решений;
при ;
при .

5. При каких значениях параметра
неравенство имеет хотя бы одно
отрицательное решение?

Ответ: при

6. При каких значениях параметра
уравнение
имеет единственное решение?

Ответ: при
или

Применение поворота
1. При каких значениях параметра уравнение
имеет ровно три решения?

Ответ: при
.

2. Решите уравнение

Ответ: при
при при
при

3. Сколько корней имеет уравнение
в зависимости от значений параметра ?

Ответ: при один корень;
при два корня; при три корня;
при четыре корня; при два корня; при корней нет; при один корень.

Применение гомотетии и сжатия к прямой
Сколько решений имеет система
уравнений ?

Ответ: при
решений нет; при
четыре решения; при
восемь решений; при
четыре решения; при
решений нет.

2. Сколько решений имеет уравнение

Построим в одной системе координат графики
функций
и . Вторая функция задает на плоскости семейство «уголков» с вершиной в точке (2;0).

Ответ: при
нет решений; при
один корень; при
два корня; при
три корня; при
четыре корня.

Параметр как равноправная переменная на плоскости
При каких значениях параметра
уравнение имеет ровно три решения?

Данное уравнение равносильно совокупности уравнений

Ответ: при
.

2. При каких значениях параметра уравнение
имеет ровно два решения?

Данное уравнение равносильно совокупности

Ответ: при
или

3. Решить уравнение

Ответ: при
нет решений; при
; при

4. При каких значениях параметра уравнение
имеет ровно три решения?

Выражая через получаем

Ответ: при
или

5. При каких значениях параметра неравенство
имеет хотя бы одно отрицательное решение?

Данное неравенство равносильно совокупности
Данное неравенство равносильно совокупности

Ответ: при

5. При каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение?

Ответ:
или

6. При каких значениях параметра
уравнение
имеет ровно три решения?