Решение задач на нахождение площади

Докажите, что площади треугольников равны.

Будет ли площадь данной фигуры равна сумме площадей треугольников АВС и KLM?
A
B
C
K
L
M
N

Свойства площадей многоугольников
Равные многоугольники имеют равные площади.
Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

Повторим формулы площадей
Sквадрата = а·а = а²
S = а·b
d
Sквадрата =0,5 d²
d

Повторим формулы площадей
h
Sпараллелограмма = а·h
а
Sромба = а·h
а

Повторим формулы площадей

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
c²=a²+b²
Теорема, обратная теореме Пифагора:
если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.
Теорема Пифагора

8
5
10
В прямоугольном треугольнике а и b – катеты,
с – гипотенуза. Заполните таблицу.
c²= a²+ b²
b²= c²- a²
a²= c²- b²
a
B
c

Дано: ∆ ABC, C=90°,
B=60°, AB=12 см
AC=10 см
Найти: S∆АВС Решите устно
C
A
B
Дано: ∆ ABC, C=90°,
AB=12 см, ВC=6 см
Найти: B, А
1.
2.
Ответ: А=30º,
B=60º
Ответ:30 см²

Диагонали ромба равны 12 см и 16 см.Найдите сторону и площадь ромба.
Решение.
S=½·12·16=96 (cм²)
∆ABO – прямоугольный, найдем АВ по теореме Пифагора: АВ²=ВО²+АО²
O
АВ=10 (см)
Ответ: 10 см и 96 см².

Площадь прямоугольной трапеции равна 120 см², а ее высота 8 см. Найдите все стороны трапеции, если одно из ее оснований на 6 см больше другого.
Н
Дано: ABCD - трапеция,
АВ  AD, SАВСD=120 см²,
АВ=8 см, AD>BC на 6 см.
Найти: BС, СD, АD.
Решение.
Пусть ВС=х см, тогда АD=(х+6) см
Т.к. SABCD= 8· (x+6+x)=120,
4(2х+6)=120
2х+6 = 30
х = 12, значит ВС =12 см, АD=18 см
1.
2.
АВ=8 см, ВС=12 см, АD=18 см
Дополнительное построение: СН АD, тогда АВСН – прямоугольник.
СН=АВ=8 см, AH=BC=12 cм, тогда HD=AD-AH=6 cм
12 см
18 см
6 см
Найдем CD по теореме Пифагора: СD²=CH²+HD²
СD=10 (cм)
Ответ: АВ=8 см, ВС=12 см, СD=10 см, AD=18 см.

Площадь прямоугольного треугольника
равна 168 см². Найдите его катеты, если отношение их длин равно 7:12.
Дано: ∆ABC, С=90º, АC:ВС=7:12, S∆ABC=168 см²
Найти: АС, BС.
Ответ: 14 см и 24 см.
Решение:
S∆ABC=½АС·ВС
168=½ 7 х·12х
168=42х²
х=2
Пусть АС=7х, ВС=12х
АС=14 см, ВС=24 см