Сечение многогранников

Содержание
Основные понятия
Демонстрация сечений
Метод следов
Метод вспомогательных сечений
Комбинированный метод

Многогранник - тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.
К элементам многогранника относятся: вершины, ребра, грани.

Сечением поверхности
геометрических тел называется
Плоская фигура, полученная в результате пересечения тела плоскостью и содержащая точки, принадлежащие как поверхности тела, так и секущей плоскости

сечение

Демонстрация сечений

Призма
Секущая плоскость
Сечение

Секущая плоскость пересекает грани многогранника по прямым, а точнее по отрезкам - разрезам.
Так как секущая плоскость идет непрерывно, то разрезы образуют замкнутую фигуру-многоугольник.
Полученный таким образом многоугольник и будет сечением тела.

Методы построения сечений
1. Аксиоматический метод
Аксиомы стереометрии

Аксиоматический метод
Метод следов
Суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры . Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Эту линию называют следом секущей плоскости. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры .

A
B
C
D
K
L
M
N
F
G
1. Проводим через точки F и O прямую FO.
O
2. Отрезок FO есть разрез грани KLBA секущей плоскостью.
3. Аналогичным образом отрезок FG есть разрез грани LMCB.
Постройте сечение призмы, проходящее через точки O,F,G
Шаг 1: Разрезаем грани KLBA и LMCB

A
B
C
D
K
L
M
N
F
G
Шаг 2: ищем след секущей плоскости на плоскости основания
1. Проводим прямую АВ до пересечения с прямой FO.
O
2. Получим точку H, которая принадлежит и секущей плоскости, и плоскости основания.
3. Аналогичным образом получим точку R.
4. Через точки H и R проводим прямую HR – след секущей плоскости

A
B
C
D
K
L
M
N
F
G
Шаг 3: Делаем разрезы на других гранях
1. Так как прямая HR пересекает нижнюю грань многогранника, то получаем точку E на входе и точку S на выходе.
O
2. Таким образом отрезок ES есть разрез грани ABCD.
3. Проводим отрезки ОЕ (разрез грани KNDA) и GS (разрез грани MNDC).
E
S

C
B
A
D
K
L
M
N
F
G
Шаг 4: выделяем сечение многогранника
Все разрезы образовали пятиугольник OFGSE, который и является сечением призмы плоскостью, проходящей через точки O, F, G.
O
G

Метод вспомогательных сечений
Этот метод построения сечений многогранников
является в достаточной мере универсальным. В тех случаях,
когда нужный след (или следы)
секущей плоскости оказывается
за пределами чертежа,
этот метод имеет даже
определенные преимущества.
Вместе с тем следует иметь в
виду, что построения, выполняемые при использовании
этого метода, зачастую получаются
«искусственное». Тем не менее в некоторых случаях
метод вспомогательных сечений оказывается
наиболее рациональным.

На ребре BM пирамиды MABCD зададим точку Р. Построим сечение пирамиды плоскостью PQR, точку R которой зададим на грани АMD,а Q на грани DMC.
1. Находим точки Р', Q' и R' и затем строим вспомогательное сечение пирамиды плоскостью, определяемой какими-нибудь двумя пересекающимися прямыми из трех прямых MP, MQ и МR.
Например, плоскостью МРQ.
B(P’)
2. Построим другое вспомогательное
сечение пирамиды плоскостью
определяемой двумя пересекающимися
прямыми, одна из которых — это
прямая MR, а другая прямая — та, на которой мы хотим найти след плоскости PQR. Например, прямая МС.

3. Находим точку F, в которой пересекаются прямые Р'Q' и R'С, а затем строим прямую MF — линию пересечения плоскостей.
4 В плоскости MPQ’ проводим прямую PQ и находим
точку F'=PQ пересекается MF.
5. Так как точка F' лежит на
прямой PQ, то она лежит
в плоскости PQR. Тогда и
прямая RF, лежит
в плоскости PQR.
Проводим прямую RF',
и находим точку С'=RF' пересекается
МС. Точка С', таким образом,
лежит и на прямой МС, и в плоскости
PQR, т. е. она является следом плоскости
PQR на прямой МС (в данном случае и на ребре МС).
B(P’)
P
R
Q
М
А
R’
D
C
Q’
F
F’
C’

6. Дальнейшие построения вполне понятны: строим C'Q, D', D'R, А', А'Р, РС'. Четырехугольник РС'D'А' — искомое сечение
D’
R’
P
R
Q
М
А
R’
D
Q’
F
C’

Комбинированный метод
Суть комбинированного метода построения
сечений многогранников состоит в
применении теорем о параллельности
прямых и плоскостей в пространстве в
сочетании с
аксиоматическим методом.

Постройте сечение куба, проходящее через точки P, R, Q.
A
B
C
D
A’
B’
C’
D’
R
P
Q
1. Точки P и R лежат в одной плоскости,
проведём прямую PR.
2. Прямая PR лежит в плоскости
AA’B’B, точка Q лежит в плоскости
DD’C’C, параллельной AA’B’B.
3. Проведём через точку Q прямую
параллельную прямой PR,
получим точку K
K

A
B
C
D
A’
B’
C’
D’
R
P
Q
4. Найдём точку пересечения прямых PR и AB, получим точку L.
K
L
5. Прямая LK в плоскости ABCD оставляет след FK
F
6. Точки R и F лежат в одной плоскости AA’D’D, проведём прямую RF.
M
7. Прямая RF лежит в плоскости АA’D’D, точка Q в плоскости BB’C’C,параллельной плоскости AA’D’D.
8. Проведём прямую параллельную
прямой RF, через точку Q, получим
точку M.