Соотношения между сторонами и углами треугольника

Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника
Повторение
C
A
В
a2 + b2 = c2
c
b
a

C
В
A
a
b
c
Теорема синусов.
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

(1)
(2)
(3)
=

М
O
X
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

C
D
E
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a2 =
B
a
A
C
c
b
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
Квадрат стороны треугольника равен
сумме квадратов двух других сторон
на косинус угла между ними.
минус удвоенное произведение этих сторон
b2 + c2
– 2bc
cosA
Теорема косинусов.

(cos2A + sin2A)
+ c2 – 2bc cosA
A
b
B
C
x = b cosA
y = b sinA
c
a
(c; 0)
(b cosA; b sinA)
BC2 =(bcosA – c)2
– 2bc cosA
+ b2sin2A
= b2cos2A
+ c2
= b2
+ (bsinA – 0)2 =

AB2 =
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
Квадрат стороны треугольника равен
сумме квадратов двух других сторон
на косинус угла между ними.
минус удвоенное произведение этих сторон
BC2 + CA2
cos
Теорема косинусов.
900
C
0
AB2 = BC2 + CA2
Теорему косинусов иногда называют обобщенной теоремой Пифагора.

XR2 =
Квадрат стороны треугольника равен
сумме квадратов двух других сторон
на косинус угла между ними.
минус удвоенное произведение этих сторон
RO2 + XO2
cosO
RO2 =
RX2 + XO2
cosX
XO2 =
RX2 + RO2
cosR

Запишите для данного
треугольника теорему синусов
и теорему косинусов для
каждой стороны.
F
D
С

На практике удобно сравнивать квадрат большей стороны и сумму квадратов двух других.

Определите вид треугольника со сторонами 5, 6 и 7 см.
>
Определите вид треугольника со сторонами 2, 3 и 4 см.
>

4
С
А
В
?
Найти угол В
2
=
300
600

4
4
5
AB2 =
Квадрат стороны треугольника равен
сумме квадратов двух других сторон
на косинус угла между ними.
минус удвоенное произведение этих сторон
BC2 + AC2
cosC
С
А
В
5
AB = 41 – 20
2
2
5
300
300
2
?
4
Найти АВ

6
6
6
6
6
ВС2 =
Квадрат стороны треугольника равен
сумме квадратов двух других сторон
на косинус угла между ними.
минус удвоенное произведение этих сторон
АВ2 + AC2
cos
С
А
В
ВС2 = 108
2
2
?
6
А
1200
1200
Найти ВС

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
C
A
B
750
600
600
4
4
?
450
450
Найти АВ

2
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
C
A
B
?
2
1350
1350
Найти угол А

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
C
A
B
600
600
?

ABСD – параллелограмм. Найти ВD.
D
A
B
1350
C
1500
O
300
450
450
300

600
5
5
3
3
3
5
ВD2 =
АВ2 + AD2
cos
ВD2 = 19
2
2
?
А
600
D
A
B
C
ABСD – параллелограмм. Найти ВD.
600

3
3
3
1350
1350
3
3
3
AC2 =
АD2 + CD2
cos
С
А
В
2
2
?
D
D
ABСD – ромб. Найти AC.
450
AC = 9(2 + )
2

1200
ABСD – параллелограмм. Найти AC.
D
A
B
C
300
300
600
5
5
?
1200
300