Тема урока:

Выпишем последовательность, соответствующую условию задачи:
Имеется радиоактивное вещество массой 256 г, вес которого за сутки уменьшается вдвое. Какова станет масса вещества на вторые сутки? На третьи? На восьмые?
последовательность:
256; 128; 64; 32; 16; 8; 4; 2; 1;…
Как получается второй член последовательности? третий? восьмой? и т.д.

Следующее условие задачи:
2. Бактерия за секунду делится на три. Сколько бактерий будет в пробирке через 5 секунд?
последовательность:
1; 3; 9; 27; 81;…
Как получается второй член последовательности? третий? пятый? и т.д.

Выписанные последовательности называются геометрическими прогрессиями.
Каким образом образовывались члены данных последовательностей?
Какая числовая последовательность называется геометрической прогрессией?

Определение:
Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.
Т.е. последовательность (bп) – геометрическая прогрессия, если для любого натурального п выполняются условия
bп+1 = bп • q, где q – некоторое число.

Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена, начиная со второго, к предыдущему члену равно q, т.е. при любом натуральном п верно равенство
b п + 1 = q.
bп
Число q называют знаменателем геометрической прогрессии

Примеры
Если b1 = 1 и q = 0,1, то получим геометрическую прогрессию
1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001;…
Если b1 = - 5 и q = 2, то получим геометрическую прогрессию
- 5; - 10; - 20; - 40; - 80;…
Если b1 = 2 и q = - 3, то получим геометрическую прогрессию
2; - 6; 18; - 54; 162; …
Если b1 = 8 и q = 1, то получим геометрическую прогрессию
8; 8; 8; 8; 8;…

Т.е. зная первый член и знаменатель геометрической прогрессии, можно найти последовательно второй, третий и вообще любой ее член
b2 = b1 q ,
b3 = b2 q = (b1 q) q = b1 q ²,
b4 = b3 q = (b1 q²) q = b1 q ³,
b5 = b4 q = (b1 q³)q = b1 q ,
b6 = b1 q,
b7 = ?

Т.е.
bп = b1q ⁿˉ¹ - формула п-го члена геометрической прогрессии