Теорема косинусов

Содержание.
Теорема косинусов.
Дополнительная информация.
Доказательство.
Следствие.
Пользуемся теоремой косинусов в решение треугольников.
Вывод.

Теорема косинусов.
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Дополнительная информация.
Теорему косинусов иногда называют обобщенной теоремой Пифагора. Такое название объясняется тем, что в теореме косинусов содержится как частный случай теорема Пифагора. В самом деле, если в треугольнике АВС угол А прямой, то cosA = cos90 = 0 и по формуле (1) получаем
а² = b²+c²,
т. е. квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательство.
Пусть в треугольнике АВС АВ = с, ВС = а, СА = в. Докажем, например, что
а² = b² + с² - 2bc cosA.
Введем систему координат в точке А. Тогда точка В имеет координаты (с; 0), а точка С имеет координаты (b cosA; b sinA). По формуле расстояния между двумя точками получаем:
BC²=a²=(b cosA-c)²+b² sin²A=b² cos²A +b²sin²A-2bc cosA + c²=b²+c²-2bc cos A
Теорема доказана.

Следствие.
Если α – тупой a²=b²+c²+2bc cos α’
a²> b²+c²
Если α – прямой a²= b²+c²+2bc · 0
a²= b²+c² ( теорема Пифагора)
Если α – острый a²=b²+c²-2bc cos α’
a²< b²+c²
Замечание:
a²> b²+c² треугольник тупоугольный.
a²= b²+c² треугольник прямоугольный
a²< b²+c² треугольник остроугольный

Пользуемся теоремой косинусов в решении треугольников
Дано: а, в, с.
Найти: углы А, В, С.
По теореме косинусов находим угол А
cosA =
По таблице Брадиса.
2) По теореме косинусов находим угол В
cosB =
3) По теореме углов
угол С= 180 - (А + В)