Учебный курс ИНФОРМАТИКА

Системы счисления. Логические основы ЭВМ
Лекция 2

Системы счисления. Логические основы ЭВМ
Системы счисления, определения
Позиционные СС
Непозиционные СС
Логические основы ЭВМ
Логические операции
Логические функции

Определения
Система счисления – это способ записи чисел с помощью специальных знаков – цифр.
Числа:
123, 45678, 1010011, CXL
Цифры: набор символов, участвующих в записи числа
0, 1, 2, … I, V, X, L, …
Алфавит – это набор цифр. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Типы систем счисления:
непозиционные – значение цифры не зависит от ее места (позиции) в записи числа;
позиционные – зависит
Алфавит – совокупность различных цифр, используемых для записи чисел.

Единичная («палочная»)
Период палеолита.
10-11 тысяч лет до н.э.
2,5 тысяч лет до н.э.
Древнеегипетская
десятичная
непозиционная система
- единицы
- десятки
- сотни
= 3 4 5
или
Непозиционные системы

2 тысячи лет до н.э.
Вавилонская шестидесятеричная
- единицы
- десятки
= 33
цифры:
и
- 60
; 602
; 603
; … ; 60n
2-ой
разряд
1-ый
разряд
= 60 + 20 + 2 = 82
пример
Непозиционные системы

3 8 4
пропущенный шестидесятичный разряд
= 3600 + 30 + 2 = 3632
Шестидесятеричная вавилонская система –
первая известная нам система счисления,
основанная на позиционном принципе.
=
!

Непозиционные системы
Унарная – одна цифра обозначает единицу (1 день,
1 камень, 1 баран, …)
Римская:
I – 1 (палец), V – 5 (раскрытая ладонь, 5 пальцев),
X – 10 (две ладони), L – 50,
C – 100 (Centum), D – 500 (Demimille),
M – 1000 (Mille)

Римская система счисления
Правила:
(обычно) не ставят больше трех одинаковых цифр подряд
если младшая цифра (только одна!) стоит слева от старшей, она вычитается из суммы (частично непозиционная!)
Примеры:
MDCXLIV =
1000
+ 500
+ 100
– 10
+ 50
– 1
+ 5
2389 = 2000 + 300 + 80 + 9
2389 = M M C C C L X X X I X
M M
CCC
LXXX
IX
= 1644

Римская система счисления
Недостатки:
для записи больших чисел (>3999) надо вводить новые знаки-цифры (V, X, L, C, D, M)
как записать дробные числа?
как выполнять арифметические действия:
CCCLIX + CLXXIV =?
Где используется:
номера глав в книгах:
обозначение веков: «Пираты XX века»
циферблат часов

Славянская система счисления
алфавитная система счисления (непозиционная)

Позиционные системы
Позиционная система: значение цифры определяется ее позицией в записи числа.
Десятичная система: первоначально – счет на пальцах
изобретена в Индии, заимствована арабами, завезена в Европу
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Основание (количество цифр): 10
3 7 8
2 1 0
разряды
8
70
300
= 3·102 + 7·101 + 8·100
Другие позиционные системы:
двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная (информатика)
двенадцатеричная (1 фут = 12 дюймов, 1 шиллинг = 12 пенсов)
двадцатеричная (1 франк = 20 су)
60-ричная (1 мин = 60 секунд, 1 ч = 60 мин)

Системы счисления. Логические основы ЭВМ
Двоичная система счисления

Перевод целых чисел
Двоичная система:
Алфавит: 0, 1
Основание (количество цифр): 2
10 → 2
2 → 10
19
19 = 100112
система счисления
100112
4 3 2 1 0
разряды
= 1·24 + 0·23 + 0·22 + 1·21 + 1·20
= 16 + 2 + 1 = 19

Примеры (2 варианта, решить самостоятельно):
131 =
79 =
1010112 =
1101102 =

Перевод дробных чисел
10 → 2
2 → 10
0,375 =
× 2
101,0112
2 1 0 -1 -2 -3
разряды
= 1·22 + 1·20 + 1·2-2 + 1·2-3
= 4 + 1 + 0,25 + 0,125 = 5,375
,750
0
0,75
× 2
,50
1
0,5
× 2
,0
1
0,7 = ?
0,7 = 0,101100110…
= 0,1(0110)2
Многие дробные числа нельзя представить в виде конечных двоичных дробей.
Для их точного хранения требуется бесконечное число разрядов.
Большинство дробных чисел хранится в памяти с ошибкой.
0,0112

Примеры (по 1 на каждый вариант):
0,625 =
3,875 =

Арифметические операции
сложение
вычитание
0+0=0 0+1=1
1+0=1 1+1=102
1 + 1 + 1 = 112
0-0=0 1-1=0
1-0=1 102-1=1
перенос
заем 1 0 1 1 02
+ 1 1 1 0 1 12
1
∙
0
0
∙
0
1
1
0
2
1 0 0 0 1 0 12
– 1 1 0 1 12
1
∙
∙
0 102
1
0
0 1 1 102
0
1
0
∙
∙
∙

Примеры:

Примеры:

Арифметические операции
умножение
деление
1 0 1 0 12
× 1 0 12
1 0 1 0 12
+ 1 0 1 0 12
1 1 0 1 0 0 12
1 0 1 0 12
– 1 1 12
1 1 12
1
1 1 12
– 1 1 12
0

Плюсы и минусы двоичной системы
нужны технические устройства только с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.);
надежность и помехоустойчивость двоичных кодов;
выполнение операций с двоичными числами для компьютера намного проще, чем с десятичными.
простые десятичные числа записываются в виде бесконечных двоичных дробей;
двоичные числа имеют много разрядов;
запись числа в двоичной системе однородна, то есть содержит только нули и единицы; поэтому человеку сложно ее воспринимать.

Системы счисления. Логические основы ЭВМ
Восьмеричная система счисления

Восьмеричная система
Основание (количество цифр): 8
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
10 → 8
8 → 10
100
1
100 = 1448
система счисления
1448
2 1 0
разряды
= 1·82 + 4·81 + 4·80
= 64 + 32 + 4 = 100

Примеры:
134 =
75 =
1348 =
758 =

Таблица восьмеричных чисел

Перевод в двоичную и обратно
8
10
2
трудоемко
2 действия
8 = 23
17258 =
1 7 2 5
001
111
010
1012
{
{
{
{

Примеры:
34678 =
21488 =
73528 =

Перевод из двоичной системы
10010111011112
Шаг 1. Разбить на триады, начиная справа:
001 001 011 101 1112
Шаг 2. Каждую триаду записать одной восьмеричной цифрой:
1
3
5
7
Ответ: 10010111011112 = 113578
001 001 011 101 1112
1

Примеры:
1011010100102 =
111111010112 =
11010110102 =

Арифметические операции
сложение
1 5 68
+ 6 6 28
∙
1
6 + 2 = 8 = 8 + 0
5 + 6 + 1 = 12 = 8 + 4
1 + 6 + 1 = 8 = 8 + 0
∙
1 в перенос
1 в перенос
∙
08
0
4
1 в перенос

Пример

Арифметические операции
вычитание
4 5 68
– 2 7 78
∙
(6 + 8) – 7 = 7
(5 – 1 + 8) – 7 = 5
(4 – 1) – 2 = 1
∙
заем
78
1
5
заем

Примеры

Системы счисления. Логические основы ЭВМ
Шестнадцатиричная система счисления

Шестнадцатеричная система
Основание (количество цифр): 16
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
10 → 16
16 → 10
107
6
107 = 6B16
система счисления
1C516
2 1 0
разряды
= 1·162 + 12·161 + 5·160
= 256 + 192 + 5 = 453
A,
10
B,
11
C,
12
D,
13
E,
14
F
15
B
C

Примеры:
171 =
206 =
1BC16 =
22B16 =

Перевод в двоичную систему
16
10
2
трудоемко
2 действия
16 = 24
7F1A16 =
7 F 1 A
0111
{
{ 1111
0001
10102
{
{

Примеры:
C73B16 =
2FE116 =

Перевод из двоичной системы
10010111011112
Шаг 1. Разбить на тетрады, начиная справа:
0001 0010 1110 11112
Шаг 2. Каждую тетраду записать одной шестнадцатеричной цифрой:
0001 0010 1110 11112
1
2
E
F
Ответ: 10010111011112 = 12EF16

Примеры:
10101011010101102 =
1111001101111101012 =
1101101101011111102 =

Перевод в восьмеричную и обратно
трудоемко
3DEA16 =
11 1101 1110 10102
16
10
8
2
Шаг 1. Перевести в двоичную систему:
Шаг 2. Разбить на триады:
Шаг 3. Триада – одна восьмеричная цифра:
011 110 111 101 0102
3DEA16 = 367528

Примеры:
A3516 =
7658 =

Арифметические операции
сложение
A 5 B16
+ C 7 E16
∙
1 6 D 916
10 5 11
+ 12 7 14
11+14=25=16+9
5+7+1=13=D16
10+12=22=16+6
∙
1 в перенос
1 в перенос
13
9
6
1

Пример:
С В А16
+ A 5 916

Арифметические операции
вычитание
С 5 B16
– A 7 E16
заем
∙
1 D D16
12 5 11
– 10 7 14
∙
(11+16)–14=13=D16
(5 – 1)+16 – 7=13=D16
(12 – 1) – 10 = 1
заем
13
1
13

Пример:
1 В А16
– A 5 916

«ЛОМАЕМ» голову стихотворение А.Н.Старикова:
Ей было 1100 лет,
Она в 101-й класс ходила,
В портфеле по 100 книг носила -
Все это правда, а не бред.
Когда, пыля десятком ног,
Она шагала по дороге,
За ней всегда бежал щенок
С одним хвостом, зато 100-ногий.
Она ловила каждый звук
Своими 10-ю ушами,
И 10 загорелых рук
Портфель и поводок держали.
И 10 темно-синих глаз
Рассматривали мир привычно…
Но станет все совсем обычным,
Когда поймете наш рассказ.
Поняли ли вы рассказ поэта?

«ЛОМАЕМ» голову
Шел Кондрат
В Ленинград,
А навстречу – 1100 ребят.
У каждого по 11 лукошек,
В каждом лукошке – кошка,
У каждой кошки – 1100 котят.
У каждого котенка
В зубах по 100 мышат.
И задумался старый Кондрат:
«Сколько мышат и котят
Ребята несут в Ленинград?»

«ЛОМАЕМ» голову
10 ног на 11 ногах,
А 100 в зубах.
Вдруг 100 прибежали
И с одного убежали.
Подскочили 10 ног,
Ухватили 11 ног,
Закричали на весь дом –
Да 11 по 100!
Но 100 завизжали
И с одного убежали.

Пословицы и поговорки с использованием СС
Конь о 100 ногах и тот спотыкается.
У 111 мамок дитя без глаза.
За битого 10 небитых дают.
За 10 зайцами погонишься – ни одного не поймать.
Старый друг лучше новых 10.
Один воин 1111101000 водит.
Не держи 1100100 рублей, а держи 1100100 друзей.
Не велик городок, до 111 воевод.
В добрую голову 1100100 рук.
1010 раз смеряй, одинажды отрежь.
Ум хорош, а 10 лучше.
Богатый не то 10 раз обедает, а бедному мосол, он и сыт и весел.
10 медведей в одной берлоге не уживутся.

Пословицы и поговорки с использованием СС
Добрый друг лучше 1100100 родственников.
С одного вола, 10 шкур не дерут.
111 пятниц на неделе.
111 пядей во лбу.
Один с сошкой, а 111 с ложкой.
У бедного Тимошки скота – то 10 кошек.
Хата брата все богата: 10 полен, 11 ушат.
За 1 ученого, 10 неученых дают.
Хорошо ружьецо бьет, с печи упало 111 горшков разбило.
Без 100 углов изба не рубится.
За 111 печатями.
111 одного не ждут.
От горшка 11 вершков.
1 дурак, а умных 101 ссорит.
1 дурак может больше спросить, чем 1010 умных ответить.

Системы счисления. Логические основы ЭВМ
Другие системы счисления

Троичная уравновешенная система
Задача Баше:
Найти такой набор из 4 гирь, чтобы с их помощью на чашечках равноплечных весов можно было взвесить груз массой от 1 до 40 кг включительно. Гири можно располагать на любой чашке весов.

Троичная уравновешенная система
+ 1 гиря справа
0 гиря снята
– 1 гиря слева
Веса гирь:
1 кг, 3 кг, 9 кг, 27 кг
Пример:
27 кг + 9 кг + 3 кг + 1 кг = 40 кг
1 1 1 13ур =
Реализация:
ЭВМ «Сетунь», Н.П. Брусенцов (1958)
50 промышленных образцов
40

Системы счисления. Логические основы ЭВМ
Логические основы ЭВМ

Логические основы ЭВМ
Принципы работы ЭВМ основываются на законах математической логики, поэтому ее элементы широко используются для поиска и обработки информации и при разработке схем электронных устройств.
Математическая логика – это наука о формах и способах мышления и их математическом представлении.
Мышление основывается на понятиях, высказываниях и умозаключениях.
Понятие объединяет совокупность объектов, обладающими некоторыми существенными признаками, которые отличают их от других объектов.

Понятие имеет две характеристики:
1) содержание;
2) объем.
Содержание понятия – это совокупность существенных признаков, выделяющих объекты, соответствующие данному понятию, среди других объектов. Например, содержание понятия «человек» можно раскрыть так: «Общественное существо, обладающее сознанием и разумом».
Объем понятия «человек» определяется численностью людей, живущих в мире.
Логические основы ЭВМ

Высказывание (суждение, утверждение) – это повествовательное предложение, в котором утверждаются или отрицаются свойства реальных предметов и отношения между ними. Высказывание может быть истинным или ложным.
Истинным называется высказывание, в котором связь понятий правильно отражает свойства и отношения реальных вещей, например: «Москва – столица России». Истинность высказывания кодируется единицей (1) и имеет значение «истина».
Ложным высказывание будет в том случае, когда оно не соответствует реальной действительности, например: «Париж – столица США». Ложность высказывания кодируется нулем (0) и имеет значение «ложь».
Обычно высказывания обозначаются логическими переменными – заглавными латинскими буквами с индесом или без, например, A = «Сегодня идет дождь». Логические переменные принимают только два значения 0 и 1.
Логические основы ЭВМ

Умозаключение позволяет из известных фактов (истинных высказываний) получать новые факты. Например, из факта «Все углы треугольника равны» следует истинность высказывания «Этот треугольник равносторонний».
Высказывания и логические операции над ними образуют алгебру высказываний (булеву алгебру), предложенную английским математиком Джорджем Булем.
Логические основы ЭВМ

Системы счисления. Логические основы ЭВМ
Логические операции

Основные логические операции над высказываниями, используемыми в ЭВМ, включают отрицание, конъюнкцию, дизъюнкции, стрелку Пирса и штрих Шеффера. Рассмотрим эти логические операции.
1. Отрицание (обозначается также ¬X, ~X).
Отрицание (NOT, читается «не X») – это высказывание, которое истинно, если X ложно, и ложно, если X истинно.
2. Конъюнкция XY (X&Y, X∧Y).
Конъюнкция XY (AND, логическое умножение, «X и Y») – это высказывание, которое истинно только в том случае, если X истинно и Y истинно.
3. Дизъюнкция X+Y (X∨Y).
Дизъюнкция X+Y (OR, логическая сумма, «X или Y или оба») – это высказывание, которое ложно только в том случае, если X ложно и Y ложно.
Логические операции

4. Стрелка Пирса X ↓ Y.
Стрелка Пирса X ↓ Y (NOR (NOT OR), ИЛИ-НЕ) – это высказывание, которое истинно только в том случае, если X ложно и Y ложно.
5. Штрих Шеффера X | Y.
Штрих Шеффера X | Y (NAND (NOT AND), И-НЕ) – это высказывание, которое ложно только в том случае, если X истинно и Y истинно.
Определить значения логических операций при различных сочетаниях аргументов можно из таблицы истинности.
Логические операции

Таблица истинности для основных логических операций, используемых в ЭВМ
Чтобы определить значение операции 0 + 1 в таблице истинности, необходимо на пересечении столбца X + Y (определяет операцию) и строки, где X = 0 и Y = 1 (так первый аргумент равен 0, а второй – 1), найти значение 1, которое и будет являться значением операции 0 + 1.
Логические операции