Углы, вписанные в окружность

Углы, вписанные в окружность
Презентацию подготовила учитель математики МОУ Поназыревская СОШ
Орлова Н.В.

Плоский угол
Это часть плоскости, ограниченная двумя лучами, выходящими из одной точки

Центральный угол
Это угол с вершиной в центре окружности
Градусная мера дуги АВ равна градусной мере <АОВ

Вписанный угол
Это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность

На чертеже укажите вписанные и соответствующие им центральные углы
А
В
О
К
С
а)
б)
в)
М
N
P
D
C
R
F
K
S
L

Свойство вписанного угла (теорема 11.5)
Угол, вписанный в окружность , равен половине соответствующего центрального угла
Дано: <АВС вписанный; <АОС соответствующий центральный.
Доказать: < АВС=1/2 < АОС
Доказательство: рассмотрим три случая расположения углов
1)Одна из сторон <АВС является диаметром
2) Диаметр ВО проходит внутри <АВС
3) Диаметр ВО проходит вне <АВС

1 случай:
А
В
С
О
Треугольник АОВ равнобедренный (АО=ВО=R)
<А=<В
<А+< В=< АОС (как внешнему углу)
=> < АВС=1/2<АОС
2 случай:
Проведем диаметр ВД
< СВО соответствует <ДОС =>
< СВО=1/2 <ДОС (по 1 случаю)
Аналогично <ДВА=1/2 <ДОА
<АВС= < СВО+ <ОВА=1/2(<ДОС+ <ДОА)=1/2 <АОС
3 случай
Докажите самостоятельно
Д

1)Найдите, чему равен <АВС, если АС – диаметр.
А
В
С
О
<АВС вписанный, <АОС – соответствующий
центральный
<АВС=1/2 <АОС
<АОС=1800=> <АВС =900
Сделайте вывод
2)Сравните углы, изображенные на чертеже
А
В
1
2
3
4
5
<1,2,3,4,5 – вписанные, опирающиеся на одну и туже дугу
=> Соответствующий центральный угол у них общий
=> Все эти углы равны
Сделайте вывод

Найдите градусную меру угла АВС
1)
Углы АВС и ADC вписаны в окружность и опираются на общую дугу АС
По следствию из теоремы

Найдите градусную меру угла АВС
2)
По теореме
<АВС= ½<АОС=½·1200=600

Найдите градусную меру угла АВС
3)
<АВС=< ABD + < DBC
< DBC = ½< DOC= ½·1800=900