Урок – ПРЕЗЕНТАЦИЯ по геометрии в 9? классе.

S1
S2
װ
װ
S1 = S2
װ
װ
װ
S1
S2
S3
S1 = S2 = S3
Опорные устные задачи.

Опорные устные задачи.
S3
S4
S1=S2=S3=S4
S1
S2

А
С
В
В1
С1
А1
≡
≡
װ
װ
_
_
о
α
α
S1
S5
S3
S6
S2
S4
Докажите, что S1 = S6, S2 = S3, S4 = S6.
Докажите, что S1 = S4, S3 = S6, S2 = S5.
Докажите, что S1 = S2= S3 = S4 = S5 = S6.

Решение геометрических задач
методом дополнительного построения
Главный руководитель :
КОНЕВА ГАЛИНА МИХАЙЛОВНА
Выполнили работу ученики 9 «А» Задорожный К. и Килин М.
Задача №1

ЗАДАЧА №1
Найти медианы треугольника, если известны стороны a,b,c.

A
B
C
B1
D
mb
B
2
B
2
c
c
a
a

Решение:
(2mb) +b =2(a +c )
4mb =2a +2c -b
mb = 2a +2c -b
Аналогично доказывается, что
ma = 2b +2c -a
mc = 2a +2b -c
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2

Рациональное решение геометрической задачи.
Выполнили:
Асеева Мария, Притупова Кристина, Капустина Оля

Найти площадь треугольника по трем известным медианам: 3, 4, 5.
ЗАДАЧА №2

I способ
1) Выразим медианы треугольника через
стороны по известным формулам.
4mb=2a+2c-b
4ma=2b+2c-a
4mc=2a+2b-c
2) Решив эту систему, найдем стороны треугольника АВС, а затем по формуле Герона найдем площадь треугольника.
A
B
C
A
1
B
1
C
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2

II способ
I)Продолжим медиану ВК на расстояние,
равное ОК.
II) Проведем прямые АP и СP, которые
пересекутся в точке Р.
III) Рассмотрим 2 треугольника: ΔАОВ и Δ АОР
A
B
C
E
D
O
K
P
1) SΔ ABО = SΔ AOP = ⅓ ∙ SΔ ABC
CО=AP = ⅔ ∙ 5 = 3⅓
AО = ⅔ ∙ 4 = 2⅔
ОP = ⅔ ∙ 3 = 2
2)Найдем площадь треугольника АОР по формуле Герона:
SΔ AOP = √ p(p-a)(p-b)(p-c)
p = (3⅓ + 2⅔ + 2) : 2 = 4
SΔ AOP = √ 4∙(4-3⅓)(4-2⅔)(4-2)=√4∙⅔∙1⅓∙2=2⅔
3) SΔ ABC = 3 ∙2⅔ = 8

3 СПОСОБ
О
Дано: ABC; CC1=5; BB1=4; AA1=3
где СС1, ВВ1, и АА1 – медианы.
Найти: SАВС
A
B
C
B1
A1
C1
P
D
E
N
M
K

Построение и решение:
1. Продлить медианы АА1, ВВ1,СС1 на 1/3 длины. Получим точки Д,Р,Е.
2. Провести прямые АД,ВЕ,СР.
Получим ∆ NMK, длины которого равны:
NM= 2⋅AA1
MK= 2⋅BB1
NK = 2⋅CC1,
т.е. NM=6, MK=8, NK=10
Так как 102=82+62, то ∆ NMK – прямоугольный.
3. SABC = 1/3⋅S NMK = 1/3 ⋅ ½ ⋅ 8 ⋅ 6=8
Ответ:8.

ЗАДАЧА №3
Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны, а сумма её оснований равна 10 см.
Найти площадь трапеции.
ПОДГОТОВИЛИ: БАГАЕВ А АСАУЛЮК Д
ЛИПАТОВА Ж.

D
A
B
C
E
1) Произведём параллельный перенос диагонали BD на вектор ВС
2) SABCD=SACE , т.к BC+AD=AE и СН - общая высота.
Н
Дано: ABCD-равнобедренная трапеция, BC+AD=10 см,
AC BD.
РЕШЕНИЕ:

3) АС=СЕ , т.к диагонали равнобедренной трапеции равны.
4) Найдём АС
Пусть АС=х, тогда по теореме Пифагора имеем
Х2 +Х2 =100
2Х2 =100
Х2 =50
Х=5
5)SACE=1/2*(5 )2=1/2*50=25
A
C
E
х
х
Н
2
2
ОТВЕТ: 25 см2

ЗАДАЧА №4
Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой высота
равна h, а диагонали взаимно перпендикулярны.

А
В
С
H
D
h
E
K

РЕШЕНИЕ
1)Треугольник ACE-прямоугольный и
равнобедренный
2)CK- медиана, биссектриса и высота
3)CK=AK=h
4)По теореме Пифагора: AC= h2+h2=
h 2
5)Sтр. ABCD=S ACE= h 2 h 2=h2
A
C
E
K
1
2
Ответ: h2

Задача №5
Диагонали трапеции равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен 2. Найти площадь трапеции .
Выполнили: Петров В.
Куликов П.
Черных Р.

A
B
C
D
N
M
K
E
F
H
Дано: ABCD – трапеция CA=3;BD=5;NM=2;BN = NC,AM = MD. Найти:SABCD.
Решение:
Выполним параллельный перенос диагонали CA на вектор CN и диагонали CA на вектор CN.
Получим KNE, где KE=BC+AD и NM-медиана, KN =3, NE=5, NM=2.
SKNE = SABCD

4) Рассмотрим KNE:
K
N
E
R
M
x
x
3
3
2
2
5
5
KM = ME = x
(2x) + 4 = 2(3 + 5 )
4x + 16 = 68
x = 13; KE = 2 13
KNM-прямоугольный,
т.к ( 13 ) = 3 +2 ; =
KNM = 90 ; SKNM=
·2·3 =3; = SKNE =2·3=6
Ответ: SABCD=6
1
2
2
2
2
2
2
2
2

Задача №6
В трапеции ABCD AC перпендикулярна BD. АС=16, BD=12. Найти среднюю линию.
( Эта задача предлагалась на централизованном тестировании по геометрии 2002 г.)
ВЫПОЛНИЛИ: ДНЕПРОВСКИЙ А.
ЗВЕРЬКОВ Е.

Способ №1
А
В
C
D
О
K
H
Х
y
12 - y
16 – x
Решение: AO = x, DO = y, OC = 16 – x, BO = 12 – y.
∆BOC подобен ∆DOA, 12 - y ∕ y = 16 - x ∕ x; 12x – xy = 16y – xy; 3x = 4y; y = ¾x.
3x = 4y, y = ¾x . Sтр = ½x · ¾x + ½(16 – x)(12 - ¾x)+
+½(16 – x) · ¾x + ½x · (12 - ¾x) = ⅜x² + ½(192 – 12x –
-12x + ¾x²) + 6x - ⅜x² + 6x - ⅜x² = ⅜x² + 96 – 6x – 6x +
+ ⅜x² + 6x - ⅜x² + 6x - ⅜x² = 96.
AD² = x² + (¾x²) = 25/16 x²; AD = 5/4 x.
x · ¾x = 5/4x · OK; OK = x · ¾x ∕ 5/4x = 3/5x.
∆BHD подобен ∆OKD => BH/OK = BD/OD; BH ∕ 3/5x =
= 12 ∕ ¾x => BH = 36/5x · 4/3x = 9,6.
Sтр AD + BC ∕ 2 · BH; 5/4x + BC ∕ 2 · 9,6 = 96.
5/4x + BC ∕ 2 = MN;
MN · 9,6 = 96;
MN = 10.
N
M
Ответ: MN = 10.

А
В
D
D1
Перенесём диагональ BD на вектор ВС. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD1 , где гипотенуза AD1 равна сумме оснований трапеции ABCD, т.к DBCD1 параллелограмм , где BC=DD1 ,BD=CD1. Из ACD1 AD²1 =AC²+CD²1,AD²1 = 16²+12²=256+144=400.AD²1=400,AD1=20. Средняя линия треугольника равна половине суммы оснований ,т.е MN= AD1:2=20:2=10.
12
о
Х
16-х
y
12-y
Способ №2
С
N
M
Ответ: NM = 10